Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

5.2. Mittelwertsätze und Extremalbedingungen
In diesem Falle ist c = f ′ (x 0 ).
Dieser Satz besagt, dass die differenzierbare Funktion f im Punkt x 0 durch eine Gerade g(x) =
f(x 0 ) + f ′ (x 0 ) · (x − x 0 ) aproximiert wird. Der Graph von g ist eine Tangente an den Graphen
im Punkt x 0 .
• Eine Funktion f : d → R, die in einem Punkt x 0 ∈ D differenzierbar ist, ist dort notwendig
auch stetig.
• Ableitungsregeln: Für Ableitungen gelten folgende Regeln:
1. Linearkombinationen: (αf + βg) ′ (x) = αf ′ (x) + βg ′ (x)
2. Produktregel: d f(g(x)) = dx f′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x)
( )
3. Quotientenregel: d f(x)
= f ′ (x)g(x)−f(x)g ′ (x)
dx g(x)
g 2 (x)
4. invertierbare Funktionen: Für eine invertierbare Funktion f : D → B ⊂ R mit abgeschlossenem
Definitionsbereich ist auch die Umkehrfunktion f −1 : B → D ⊂ R differenzierbar
und es gilt:
(f −1 ) ′ (y) = 1
f ′ (x) , y = f(x)
Für den Beweis werden die Folgen y n = f(x n ), y 0 = f(x 0 ) mit y n → y 0 (n → ∞)
betrachtet, für die wegen der Stetigkeit von f −1 auch x → x 0 gilt. Wäre nun D nicht
abgeschlossen, so könnte man x 0 ∈ D nicht garantieren.
5. Kettenregel: Seien g : D g → R und f : D f → D g ⊂ R stetig diff’bare Funktionen. Die
FUnktion f sei im Punkt x 0 ∈ D f differenzierbar und g sei in y 0 = f(x 0 ) differenzierbar.
Dann ist die zusammengesetzte Funktion g(f(x)) = (f ◦ g)(x) in x 0 differenzierbar und
es gilt:
d
dx g(f(x 0)) = g ′ (f(x 0 ))f ′ (x 0 )
5.2 Mittelwertsätze und Extremalbedingungen
• Satz vom Extremum: Besitzt eine auf einem Intervall I = (a, b) differenzierbare Funktion f
ein lokales Extremum (Maximum oder Minimum) x 0 ∈ I, d.h. für ein festes δ > 0 gilt:
so ist notwendig f ′ (x 0 ) = 0.
f(x 0 ) ≥ f(x) oder f(x 0 ) ≤ f(x) ∀x ∈ U δ (x 0 ),
Auf einem Abgeschlossenen Intervall besitzt jede stetige Funktion ein Maximum und ein Minimum.
Da diese auch auf den Randpunkten liegen können, muss dort nicht unbedingt f ′ (x 0 ) = 0
gelten.
• Satz von ROLLE: Wenn eine im Intervall [a, b] stetige Funktion in (a, b) differenzierbar ist
und f(a) = f(b) gilt, so gibt es ein ξ ∈ (a, b), in dem f ′ (ξ) = 0 ist.
Insbesondere liegt zwischen zwei Nullstellen einer Funktion stets auch eine Nullstelle ihrer
Ableitung.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 28 –