Volltext - Universität Hamburg

2. Grundlagen von Freie Elektronen Lasern
Felds eines Undulators in longitudinaler Richtung
( ) 2π
B y (z) = B 0 sin z
λ U
(2.5)
sinusförmig (Abb. 2.3). Die Strahlungsanteile der vorangegangenen Perioden überlagern sich
mit der gerade emittierten Strahlung, da sich das Elektron langsamer als das Licht bewegt und
eine längere Trajektorie durch den Undulator hat. Die horizontale Komponente der Bewegung
des Elektrons in einem planaren Undulator ist gegeben durch
( )
dv x
2π
γ rel m e
dt = ev zB y = −ev z B 0 sin z . (2.6)
λ U
Ein planarer Undulator erzeugt linear polarisiertes Licht. Die horizontale Geschwindigkeitskomponente
v x kann unter der Annahme eines konstanten relativistischen Lorentz-Faktors (kein
elektrisches Feld vorhanden) mit der Näherung erster Ordnung bestimmt werden zu
v x ≈= Kc ( )
0 2π
cos z . (2.7)
γ rel λ U
Die Geschwindigkeit des Elektrons v z entlang der Undulatorachse z
v z = √ |⃗v| 2 − v x
2
(2.8)
ändert sich periodisch, da sich die horizontale Geschwindigkeit periodisch ändert. Die mittlere
longitudinale Geschwindigkeit ergibt sich zu
¯v z ≈ c 0
(
1 − 1
2γ rel
2
(1 + K2
2
))
. (2.9)
Die abgestrahlte Kreisfrequenz der Undulatorstrahlung im Laborsystem ω Rad lässt sich aus der
Lorentz-Transformation der Kreisfrequenz ω ∗ des Lichts im mitbewegten Koordinatensystem
des Elektrons bestimmen (Dohlus et al., 2008, S. 15 ff)
ω ∗ = 2π¯γ relc 0
λ U
(2.10) ω Rad =
ω ∗
¯γ rel (1 − ¯β rel cos θ)
(2.11)
wobei ¯βrel = ¯v z /c 0 , ¯γ rel der relativistische Lorentz-Faktor der mittleren longitudinalen Geschwindigkeit
der Elektronen ¯v z und θ der Beobachtungswinkel zur Undulatorachse ist. Mit der
Näherung cos θ ≈ 1 − θ 2 /2 für θ ≤ 1/γ rel ≪ 1 ergibt sich für die abgestrahlte Wellenlänge der
Undulatorstrahlung
λ Rad
n = λ )
U
(1 + K2
2nγ
2 rel 2 + γ rel 2 θ 2 , n = 1, 2, · · · , (2.12)
wobei n die Harmonischenzahl ist. Für die vorwärts gerichtete Strahlung auf der Undulatorachse
θ = 0 heben sich die geraden Harmonischen auf.
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