Volltext - Universität Hamburg

4. Grundlagen zur Temperaturentwicklung in Festkörpern
Wie aus dem vorangegangenen Kapitel ersichtlich wird, ist die Bragg-Reflexion temperaturabhängig.
Da ein XFELO einen sehr intensiven Lichtpuls generiert, sind thermische Berechnungen
nötig, um die Änderung der Bragg-Wellenlänge zu berechnen. Zu Beginn wird eine Einleitung
in die Wärmeleitung in Festkörpern gegeben. Anschließend wird ein analytischer Ansatz zur
Lösung der Wärmeleitungsgleichung verfolgt. Zuletzt wird ein numerisches Verfahren erläutert,
welches im Rahmen dieser Arbeit für die Berechnung der Temperatur in Kristallen genutzt
wird.
4.1. Einführung
In Festkörpern gibt es unterschiedliche elementare Anregungen, wie zum Beispiel elektronische,
photonische und phononische, um die geläufigsten zu nennen (vgl. Kittel, 1986, S. 82). Der
Wärmetransport in kristallinen Festkörpern wird hauptsächlich durch phononische Anregungen
getragen (Majumdar, 1993). Die Absorption elektromagnetischer Strahlung in Halbleitern/Isolatoren
regen Valenzelektronen und optische Phononen an (Qiu et al., 1993).
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Phononen im Kristall ist durch die Dispersionsrelation
gegeben. Da sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit der akustischen Phononen über einen sehr
großen Frequenzbereich kaum ändert, kann diese als konstant angesehen werden (McSkimin
et al., 1972). Dieser Transportprozess der Phononen kann mikroskopisch mit der Boltzmann-
Transportgleichung beschrieben werden (vgl. Ziman, 2001; Kittel, 1986, S. 264 ff u. S. 617 ff)
∂f
∂t + ⃗v ⃗ ∇ r f + ˙⃗v ⃗ ∇ v f =
( ) ∂f
, (4.1)
∂t
Streu
wobei f(⃗r, ⃗v, t) die Teilchenverteilungsfunktion in Abhängigkeit vom Ort ⃗r, der Geschwindigkeit
⃗v, der Zeit t und der Beschleunigung des Teilchens ˙⃗v ist. Die Nabla-Operatoren ⃗ ∇ r , ⃗ ∇ v bilden die
Ableitungen bezüglich der Orts- bzw. der Geschwindigkeitskoordinaten. Die Abhängigkeit von
der Geschwindigkeit ⃗ ∇ v f ist klein und wird im Folgenden nicht mehr berücksichtigt f(⃗r, ⃗v, t) =
f(⃗r, t) (Majumdar, 1993). Der zweite Term beschreibt die advektive Strömung der Verteilung.
Die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Änderung der Verteilung f aufgrund von Streuung.
Der Streuterm kann mit der Relaxationszeit-Näherung genähert werden (vgl. Kittel, 1986,
S. 619)
∂f ω
∂t + ⃗v · ⃗∇ r f ω = f 0 ω − f ω
τ R
, (4.2)
mit f ω der Verteilungsfunktion in Abhängigkeit von der Phononfrequenz ω und der Gleichgewichtsverteilungsfunktion
f 0 ω der Phononen, welche der Bose-Einstein-Statistik folgt. τ R ist
die mittleren Zeitspanne zwischen zwei Streuereignissen. Aus der Verteilungsfunktion f ω lässt
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