Volltext - Universität Hamburg

4. Grundlagen zur Temperaturentwicklung in Festkörpern
4.2.2. Lösung der Wärmeleitungsgleichung
Die Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit konstanter thermischer Diffusion
a = λ C
ρ c P
(4.13)
kann mit Hilfe der Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung gelöst werden (Dziuk, 2010,
S. 183 ff). Die Fundamentallösung ist gegeben durch
( )
1
I(t, ⃗r) = · exp − ‖⃗r‖2 , (4.14)
(4πat) n 2 4at
wobei n die Dimension und ‖⃗r‖ 2 die euklidische Norm sind.
Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Temperaturverteilung vorgegeben (Gl. 4.15). Die Temperaturverteilung
zum Zeitpunkt t ≥ 0 kann durch Faltung der Fundamentallösung mit der Temperaturverteilung
bestimmt werden (Gl. 4.16)
Führt man t 0 als
( ) r
2
T (0, ⃗r) = T 0 exp
σ
2 R
T (t, ⃗r) = (I ∗ T 0 )(t, ⃗r) =
(
2
T 0 σ R r
2
(2at + σ R2 ) exp
σ R
2
(4.15)
)
. (4.16)
t 0 = σ R 2
2a
(4.17)
ein, so ergibt sich für die Temperaturverteilung bei r = 0
T (t) =
T 0
1 + t/t 0
. (4.18)
Um den Temperaturanstieg beim Auftreffen eines Pulszugs zu berechnen, wird die Temperatur
zum Zeitpunkt der erneuten Absorption eines Teils des Lichtpulses T (t Sep ) zu T max addiert.
Nach einer weiteren Zeitspanne t Sep wird die oben beschriebene Prozedur wiederholt. Damit
die Erwärmung des gesamten Kristalls berücksichtigt wird, wird der Temperaturanstieg des
gesamten Kristalls nach Absorption von (n − 1) · Q zusätzlich addiert, wobei n die Anzahl der
absorbierten Pulse ist. Unter der Annahme der in Tab. 4.1 aufgeführten Parameter und nach
Gl. 4.18 berechneten Temperaturentwicklung im Kristall, ergibt sich ein Temperaturanstieg von
∆T = 0.6 K für eine Kristalltemperatur von T 0 = 50 K bzw. ∆T = 70.0 K für eine Kristalltemperatur
von T 0 = 300 K. Bei dieser Berechnung wurde der Wärmefluss aus dem Kristall
gleich Null gesetzt. Der Kristall erwärmt sich also langsam über den berechneten Pulszug. Die
zeitlichen Temperaturentwicklungen für beide Kristalltemperaturen sind in Abb. 4.1, 4.2 dargestellt.
Wie aus den Abbildungen zu erkennen ist, ist der Unterschied der Wärmeleitfähigkeit
zwischen T 0 = 300 K und T 0 = 50 K entscheidend dafür, dass die Temperatur im Kristall nach
der Zeitspanne t Sep wieder nahe der Ausgangstemperatur T 0 ist.
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