Volltext - Universität Hamburg

2. Grundlagen von Freie Elektronen Lasern
von den Elektronen auf das Lichtfeld E x findet nur statt, wenn die zeitliche Ableitung der
Elektronenenergie kleiner Null ist:
dE B
dt
= −ev x (t)E x (t) (2.15) E x = E 0 cos (k Rad z − ωt − ψ 0 ) . (2.16)
Hier wurde sich auf einen planaren Undulator beschränkt mit E B der Energie der Elektronen,
E 0 der Amplitude des Lichtfeldes, k Rad = 2π/λ Rad der Wellenzahl der abgestrahlten Wellenlänge
und ψ 0 einer beliebigen konstanten Phase zwischen Lichtfeld und Elektronen. Werden
Gl. 2.7 und Gl. 2.16 in Gl. 2.15 eingesetzt, so ergeben sich beim Zusammenfassen der cos-Terme
zwei Argumente
ψ = (k Rad + k U ) z − ω Rad t + ψ 0 (2.17) φ = (k Rad − k U ) z − ω Rad t + ψ 0 , (2.18)
mit k U = 2π/λ U . ψ wird als ponderomotive Phase bezeichnet. Einen positiven Energieübertrag
auf das Lichtfeld ist nur für ein konstantes ψ zu erreichen (Huang et al., 2007)
dψ
dz = (k Rad + k U ) − ω Rad
¯v z
= 0, (2.19)
mit dz = ¯v z dt. Eine konstante Phasenbeziehung zwischen Elektron und Lichtfeld wird erreicht,
wenn das Elektron eine Wellenlänge gegenüber der Lichtwelle pro Undulatorperiode zurückbleibt.
Die verstärkte Wellenlänge eines FELs ist gegeben durch (Saldin et al., 2000, S. 6)
λ Rad ≈ λ U
2γ r
2
(1 + K2
2
)
, (2.20)
wobei γ r der relativistische Lorentz-Faktor der Elektronen ist, welches Gl. 2.12 für n = 1 erfüllt.
Ein Vergleich mit Gl. 2.12 zeigt, dass ein Undulator mit θ = 0 eine geeignete Lichtquelle für einen
FEL darstellt. Die Terme mit dem Argument φ heben sich innerhalb einer Undulatorperiode
auf, da die Frequenz der Oszillation doppelt so groß ist wie bei ψ.
2.6.1. Schwach verstärkender FEL
Unter der Annahme, dass die Änderung der Amplitude des elektrischen Feldes und der Elektronenpulseigenschaften
beim Durchgang durch den Undulator klein ist, lassen sich aus Gl. 2.15
und Gl. 2.19 unter Einführung von η = (γ rel − γ r )/γ r , der relativen Energieabweichung von der
Sollenergie der Elektronen, zwei Differentialgleichungen ableiten. Diese beschreiben die Entwicklung
der ponderomotiven Phase und relativen Energieabweichung der Elektronen entlang
des Undulators
dψ
dz = 2k Uη (2.21)
dη
dz = −eE 0K
cos ψ. (2.22)
2m e c 02 γ
2 r
Diese Pendelgleichungen beschreiben einen „schwach“-verstärkenden FEL, dessen Verstärkung
G = ∆E/E gegeben ist durch (Dohlus et al., 2008, S. 33)
G(ξ) = Γ3 N U 3 λ U
3
2
(
d sin 2 )
ξ
dξ ξ 2 , (2.23)
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