Volltext - Universität Hamburg

4. Grundlagen zur Temperaturentwicklung in Festkörpern
Temperatur (K)
340
320
Temperatur (K)
349
348
300
0 20 40 60
Zeit (µs)
347
55.3 55.4 55.5
Zeit (µs)
Abbildung 4.2.: Analytische Lösung des zeitlichen Temperaturverlaufs eines d Krist = 100 µm dicken
Diamantkristalls mit einer Temperatur von T 0 = 300 K. Links: Zeitlicher Temperaturverlauf
von 300 Pulsen mit einem Pulsabstand von t Sep = 222 ns. Rechts: Zeitlicher
Temperaturverlauf des letzten simulierten Pulses.
4.3. Numerische Lösung des Wärmetransports
Zur numerischen Berechnung der Temperaturentwicklung im Kristall wurde ein Programm in
Interactive Data Language (IDL) entwickelt, welches den Wärmetransport in einem Kristall für
einen zylindersymmetrischen Körper berechnet unter Berücksichtigung des ballistischen Wärmeflusses.
Eine weitere Version berechnet nur den radialen Wärmefluss. Die partiellen Ableitungen
werden mit dem expliziten Euler-Verfahren numerisch berechnet (Euler, 1792). Die Fehler, die
durch dieses Verfahren bei der Berechnung der Ableitung auftreten, sind für die erste Ableitung
in der Ordnung O(∆q) und für die zweite Ableitung in der Ordnung O(∆q 2 ), wobei ∆q der
Integrationsschritt ist. In Abb. 4.3 ist der Ablauf des Programms dargestellt. Nachstehend sind
Berechnungsschritte des Programms näher erläutert.
4.3.1. Gitter
Das Gitter, welches den Kristall unterteilt, ändert den Abstand zum Nachbarelement quadratisch
in radialer Richtung bzw. in der Tiefe des Kristalls. Für Gitter mit konstantem Abstand
der Gitterelemente ist entweder die Auflösung zu klein, um das Absorptionsprofil genau genug
abzubilden oder die Anzahl der Gitterpunkte ist sehr groß, um Kristallgrößen im Bereich von
Millimetern zu simulieren. Ein derart großes Gitter führt zu erheblich mehr Rechenaufwand.
Des Weiteren ist die hohe Auflösung am Rand des Kristalls unnötig. Eine schematische Darstellung
des Gitters und des simulierten Kristalls ist in Abb. 4.4 gezeigt. Die typische Anzahl
der Gitterelemente liegt bei 50 × 50 Punkten.
4.3.2. Initiales Temperaturfeld
Der folgende Schritt im Programm ist die Berechnung des Temperaturfeldes an jedem Gitterpunkt
zum Zeitpunkt t = 0 nach Absorption des Pulses. Es gibt die Möglichkeit, das Temperaturfeld
zweier Pulse mit unterschiedlichen Strahlgrößen und Absorptionslängen zu berechnen.
38