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6. Numerische Simulation des FEL-Prozesses Genesis Initialisierung Berechnung von: Propagationskern(en) Linse(n) und Filter(n) 3D FFT Hintransformation Propagation Multiplikation mit Propagationskern 2D FFT Rücktransformation transversal Linse Multiplikation mit Phasenfaktor 2D FFT Hintransformation Filter Multiplikation mit Filterkern Propagation 2D FFT Rücktransformation Linse 2D FFT Hintransformation Propagation Nein letzte Scheibe? Ja 3D FFT Rücktransformation letztes e − -Paket? Nein Ende Ja Abbildung 6.1.: Ablauf der Simulation eines XFELOs mit Genesis. Die Berechnungsschritte zur Propagation des Lichtfeldes zurück zum Undulator sind aufgeführt. 58
6.1. Numerische Simulation eines FEL-Oszillators Die Berechnungen der einzelnen Transferfunktionen sind in den folgenden Abschnitten erläutert. Die Berechnung der Propagation und der Linse wurde nach Karssenberg et al. (2008) berechnet und stimmen mit den Ergebnissen von OPC überein. Propagation Die Fresnel-Propagation ist mathematisch gegeben als Faltung E(x, y, z) = { ∫ ∞ ∫ ∞ √ KAbs −∞ −∞ ( 2πiz exp i K ) Abs (y − y ′ ) 2 · 2z √ ( KAbs 2πiz exp i K ) } Abs (x − x ′ ) 2 E(x ′ , y ′ , 0)dx ′ dy ′ . (6.1) 2z E(x, y, z) ist das elektrischen Feld nach der Propagation um die Distanz z auf E(x ′ , y ′ , 0). Der Integralkern der Faltung für die Fresnel-Propagation W (x, z) = √ KAbs 2πiz exp ( i K Abs 2z x2 ) kann mit Hilfe der sin- und cos-förmigen Fresnel-Integrale diskret berechnet werden W j,Diskret = 1 − i 2 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ F (δ · (j − 1 2 )) − F (δ · (j + 1 2 )) , j < 0 (6.2) F (− 1 2 δ) + F ( 1 2 δ) , j = 0 (6.3) F (δ · (j + 1 2 )) − F (δ · (j − 1 2 )) , j > 0, √ wobei j den Index des Gitterelements beschreibt, mit δ = d grid k N−1 πz , N G = n grid die Anzahl der Gitterpunkte, d grid die transversale Ausdehnung des Gitters ist und F (x) ist gegeben durch F (x) = C(x) + iS(x) mit ∫ x ( π C(x) = cos 2 t2) dt 0 ∫ x ( π S(x) = sin 2 t2) dt. 0 (6.4) Damit dieser Integralkern im Fourier-Raum mit dem Lichtfeld multipliziert werden kann, muss der Integralkern der Propagation Fourier-transformiert werden. Um ein zweidimensionales Gitter zu erhalten, werden die Werte des eindimensionalen Gitters in einer Schleife entsprechend mit sich selbst multipliziert, sodass der Fresnel-Kern für das (x,y)-te Gitterelement berechnet werden kann. Linse Eine Linse ändert die Ausbreitungsrichtung des Lichts um einen ortsabhängigen Winkel ϑ(x, y). Die Winkeländerung der Ausbreitung des Lichts wird mit ϑ = − π λf L (x 2 + y 2 ) (6.5) 59
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Universität Hamburg Department Phy
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Erklärung Hiermit versichere ich,
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Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1
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A.3. Strahl-Verteilungssystem . . .
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1. Einführung Dieses führt zu ein
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2. Grundlagen von Freie Elektronen
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