Volltext - Universität Hamburg

6.1. Numerische Simulation eines FEL-Oszillators
Die Berechnungen der einzelnen Transferfunktionen sind in den folgenden Abschnitten erläutert.
Die Berechnung der Propagation und der Linse wurde nach Karssenberg et al. (2008)
berechnet und stimmen mit den Ergebnissen von OPC überein.
Propagation
Die Fresnel-Propagation ist mathematisch gegeben als Faltung
E(x, y, z) =
{ ∫ ∞
∫ ∞
√
KAbs
−∞
−∞
(
2πiz exp i K )
Abs
(y − y ′ ) 2 ·
2z
√ (
KAbs
2πiz exp i K )
}
Abs
(x − x ′ ) 2 E(x ′ , y ′ , 0)dx ′ dy ′ . (6.1)
2z
E(x, y, z) ist das elektrischen Feld nach der Propagation um die Distanz z auf E(x ′ , y ′ , 0). Der
Integralkern der Faltung für die Fresnel-Propagation
W (x, z) =
√
KAbs
2πiz exp (
i K Abs
2z x2 )
kann mit Hilfe der sin- und cos-förmigen Fresnel-Integrale diskret berechnet werden
W j,Diskret = 1 − i
2
⎧
⎪⎨
⎪⎩
F (δ · (j − 1 2 )) − F (δ · (j + 1 2 )) , j < 0
(6.2)
F (− 1 2 δ) + F ( 1 2 δ) , j = 0
(6.3)
F (δ · (j + 1 2 )) − F (δ · (j − 1 2 )) , j > 0,
√
wobei j den Index des Gitterelements beschreibt, mit δ = d grid k
N−1 πz , N G = n grid die Anzahl der
Gitterpunkte, d grid die transversale Ausdehnung des Gitters ist und F (x) ist gegeben durch
F (x) = C(x) + iS(x) mit
∫ x
( π
C(x) = cos
2 t2) dt
0
∫ x
( π
S(x) = sin
2 t2) dt.
0
(6.4)
Damit dieser Integralkern im Fourier-Raum mit dem Lichtfeld multipliziert werden kann, muss
der Integralkern der Propagation Fourier-transformiert werden. Um ein zweidimensionales Gitter
zu erhalten, werden die Werte des eindimensionalen Gitters in einer Schleife entsprechend
mit sich selbst multipliziert, sodass der Fresnel-Kern für das (x,y)-te Gitterelement berechnet
werden kann.
Linse
Eine Linse ändert die Ausbreitungsrichtung des Lichts um einen ortsabhängigen Winkel ϑ(x, y).
Die Winkeländerung der Ausbreitung des Lichts wird mit
ϑ = − π
λf L
(x 2 + y 2 ) (6.5)
59