Volltext - Universität Hamburg

4.3. Numerische Lösung des Wärmetransports
Richtung mit einem Faktor
1
∆ bal =
1 + 4 l mfp
, (4.21)
3 d Krist
der die ballistische Korrektur beschreibt, modifiziert werden. Die Temperaturdifferenzen pro
Zeiteinheit in z-Richtung werden nicht korrigiert, da in dieser Richtung der betrachtete Körper
groß gegenüber der mittleren freien Weglänge ist. Entscheidend für die Korrektur ist die Dicke
des Kristalls senkrecht zum Wärmefluss, der betrachtet wird.
4.3.4. Randbedingungen
Anschließend werden die Randbedingungen für das Gitter angewandt. An den Rändern des
Kristalls fließt keine Energie in den Kristall oder heraus
˙Q(r = 0, z) = 0
˙Q(r, z = 0) = 0
˙Q(r = r außen , z) = 0
˙Q(0 < r < r innen , z innen < z ≤ z außen ) = 0
˙Q(r ≥ r innen , z = z außen ) = 0.
4.3.5. Iterationsschleife
Durch entsprechende Summation und unter Berücksichtigung der spezifischen Wärmekapazität
lässt sich die zeitliche Temperaturänderung bestimmen, die noch mit einem zeitlichen Iterationsschritt
multipliziert werden muss, um die Temperaturänderung dT_dt_x bzw. dT_dt_z zu
erhalten, welche zu dem Temperaturfeld T_pulse addiert wird. Bei dem hier genutzten Euler-
Verfahren zur Berechnung der Temperatur am nächsten Zeitschritt müssen diese vor allem für
tiefe Temperaturen (∼ 50 K) klein sein, damit die Berechnung stabil ist (Quarteroni et al.,
2005). Das führt zu unphysikalisch hohen Diffusionsgeschwindigkeiten, die oberhalb der Schallgeschwindigkeit
des jeweiligen Mediums liegen. Um diese zu kompensieren, sind die Faktoren
v_corr_x bzw. v_corr_z eingeführt worden, die, wenn sie größer als eins sind, auf eins gesetzt
werden.
Die Berechnung des Energieflusses multipliziert mit dem Zeitschritt wird so häufig wiederholt
bis die Summe der zeitlichen Iterationsschritte dem zeitlichen Abstand der Pulse im Pulszug
entspricht. Dann wird für jedes Gitterelement die Wärmemenge bestimmt und mit dem Absorptionsprofil
eines neuen Pulses addiert, um daraus ein neues Temperaturfeld zu berechnen,
welches die Iterationsschleife erneut durchläuft.
Bisher wurde angenommen, dass die zeitliche Ausdehnung des Pulses klein gegenüber einem
zeitlichen Iterationsschritt ist, sodass die Pulsenergie auf einmal absorbiert wird. Für längere
Pulse kann nach jedem Iterationsschritt ein Bruchteil der absorbierten Energie addiert werden,
solange die Summe der zeitlichen Iterationsschritte kleiner als die Länge des Pulses ist.
Die Berechnung des Erwärmungsprozesses der Bragg-Kristalle ist integraler Bestandteil für
den Aufbau und Konzeption eines XFELOs. Wie in dem Kapitel zur Berechnung der Strahlung
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