(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

88 2. Elektrostatik
Wir wollen zur Veranschaulichung eine konkrete Realisierung des Quadrupols
durch Punktladungen diskutieren, ähnlich wie wir es auch beim Dipol getan haben.
−q
+ q
a
a + d
a
+ q
d
−q
r
P
Abb. 2.28. Einfache Realisierung eines Quadrupols aus vier
Punktladungen
Dazu benötigen wir nun ein System von vier Ladungen, die wie im Bild angeordnet
und betragsmäßig gleich groß sein mögen. Je zwei tragen +q und −q. Wirwerden
sehen, dass das Potential dieser Anordnung in der Fernzone (r >>d, a) ein Quadrupolpotential
der Form (2.87) darstellt, wenn wir
q ij ≃ qa i d j
setzen:
( )
1
4πε 0 ϕ(r) = q
r + 1
|r − a − d| − 1
|r − a| − 1
=
|r − d|
{ 1
= q
r + 1 r − [(a + d) · ∇] 1 r + 1 2 [(a + d) · 1
∇]2 r +...− 1 r +
+(a · ∇) 1 r − 1 2 (a · ∇)2 1 r +...− 1 r +(d · ∇)1 r −
− 1 2 (d · ∇)2 1 r +... }
Monopol- und Dipolbeiträge kompensieren sich:
4πε 0 ϕ(r) = 1 2 q [(a · ∇)(d · ∇)+(d · ∇)(a · ∇)] 1 r +...=
= +q ∑ i,j
= ∑ i,j
a i d j
∂ 2
∂x i ∂x j
1
r +...= ∑ i,j
q ij
∂ (
− x )
j
+...=
∂x i r 3
q ij
( 3xj x i
r 5 − δ ij
1
r 3 )
+... (2.88)