(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

92 2. Elektrostatik
Die sich damit ergebende Potential-Entwicklung
4πε 0 ϕ(r) = q r + r · p
r 3 + 1 ∑ x i x j
Q ij +... (2.94)
2 r5 zeigt, dass sich das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung aus den Potentialen
einer Punktladung, eines Dipols, eines Quadrupols, eines Oktupols usw. zusammensetzt.
Man spricht von einer Multipolentwicklung. Für sehr weit vom ρ ̸= 0-Gebiet
entfernte Punkte wirkt die Ladungsverteilung wie eine Punktladung im Ursprung,
da das erste Glied der Entwicklung dominiert. Je dichter man an das ρ ̸= 0-Gebiet
heranrückt, desto mehr Terme der Entwicklung sind zu berücksichtigen!
i,j
Diskussion:
1. Ist q ̸= 0, so dominiert in der Fernzone der Monopolterm:
ϕ M (r) = 1 q
4πε 0 r . (2.95)
Das E-Feld entspricht dem einer Punktladung q im Ursprung ((2.21) mit r 0 = 0).
2. Ist q = 0,sodominiertderDipolterm:
ϕ D (r) = 1 r · p
4πε 0 r 3 , (2.96)
den wir im Anschluss an (2.71) ausgiebig diskutiert haben. Eine einfache Realisierung
einer Ladungsverteilung mit q = 0 ist ein Paar aus entgegengesetzt
gleichen Punktladungen,
mit dem Dipolmoment:
ρ(r) = −q δ(r)+q δ(r − a) ,
p = −q · 0 + q a = q a .
Das zugehörige Feld ist dann in der Fernzone, sobald die höheren Multipole
unbedeutend werden, ein reines Dipolfeld (2.73).
Das Dipolmoment p (2.92) ist invariant gegenüber Drehungen des Koordinatensystems,
aber in der Regel nicht gegenüber Translationen, d.h. gegenüber
Verschiebungen des Nullpunktes:
0
r′
ρ
ρ
( r′)
= ( r″)
d
0
r″= r′
−d
Abb. 2.33. Zur Abhängigkeit des Dipolmoments von der
Wahl des Koordinatensystems