(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

2.3 Randwertprobleme der Elektrostatik 103
Aus (2.109) folgt mit dem physikalischen gaußschen Satz, dass das Innere eines
elektrischen Leiters stets ladungsneutral ist. Daran ändert sich auch nichts, wenn wir
den Leiter aushöhlen. Das dadurch entstehende Loch bleibt feldfrei (Faraday-Käfig).
Bringen wir einen elektrischen Leiter in ein externes elektrostatisches Feld, so
werden sich die quasifreien Ladungsträger so lange verschieben, bis das resultierende
Feld senkrecht in die Leiteroberfläche einmündet, d.h., die Tangentialkomponente
von E verschwindet. Das externe Feld wird damit deformiert. Wenn aber E a (n) ̸= 0
ist, so folgt aus (2.110), dass sich eine passende Oberflächenladungsdichte σ gebildet
haben muss. Man sagt:
Das äußere Feld influenziert Ladungen an der Leiteroberfläche!
Leiteroberfläche
ϕ = const
σ
geladene
Fläche
ρ ≠ 0
D
ϕ a
ϕ i
∂ϕi
∂n
Dipolschicht
∂ϕa
∂n
Abb. 2.39. Typische Randbedingungen für die
Lösung der Poisson-Gleichung
Wir kommen nun zu unserem Randwertproblem zurück. Wir suchen das elektrostatische
Potential ϕ(r) als Lösung der Poisson-Gleichung in einem gewissen Raumbereich
V. Die Poisson-Gleichung ist definiert durch eine
Ladungsdichte ρ(r).
Ihre Lösung wird beeinflusst durch Randbedingungen auf
1. Leiteroberflächen ⇐⇒ ϕ = const ,
2. geladenen Flächen ⇐⇒ ∂ϕ a
∂n − ∂ϕ i
∂n = − σ ε 0
,
3. Dipolschichten ⇐⇒ ϕ a − ϕ i = ± 1 ε 0
D .
Auf solche Fälle, für die die zu erfüllenden Randbedingungen vom Dirichlet- oder
Neumann-Typ sind, sind die folgenden Überlegungen zugeschnitten.
2.3.3 Greensche Funktion
Wir wollen das Randwertproblem zunächst formal lösen, und zwar mithilfe der
sogenannten greenschen Funktion G(r, r ′ ).