(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

4.4 Elemente der Funktionentheorie 313
Satz 4.4.1 f (z) sei in einem einfach-zusammenhängenden Gebiet G analytisch und
C ein ganz in G verlaufender Weg. Dann ist das Integral
4.4.1
∫ z∗
f (z)dz
z 0
(C)
nur von den Endpunkten z 0 , z ∗ , nicht aber von der Gestalt von C abhängig.
Beweis
∫
C
wobei
∫
∫
f (z)dz = (u + i v)(dx + i dy) =
C
∫
=
C
∫
p r · dr + i
C
p i · dr ,
C
∫
(u dx − v dy)+i
p r = (u,−v) ; p i = (v, u) ; dr = (dx, dy) .
C
(v dx + u dy) =
Die beiden ebenen Linienintegrale sind bekanntlich genau dann wegunabhängig,
wenn die Rotationen der beiden zweidimensionalen Vektoren p r , p i verschwinden:
∂ ∂
( rot p r =
∂x ∂y
= ∂v
∣ u −v∣ − ∂x + ∂u )
,
∂y
∂ ∂
rot p i =
∂x ∂y
= ∂u
∣ v u ∣ ∂x − ∂v
∂y .
Diese Ausdrücke entsprechen aber gerade den Cauchy-riemannschen Differentialgleichungen
(4.298), sind also genau dann Null, wenn f (z) in G analytisch ist.
Man kann den obigen Satz auch wie folgt formulieren:
Satz 4.4.2: Cauchyscher Integralsatz: Für alle geschlossenen Wege, die samt der
umlaufenen Fläche ganz in einem einfach-zusammenhängenden Gebiet G liegen, in
denen f (z) analytisch ist, gilt:
∮
f (z)dz = 0. (4.310)
C
4.4.2