(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

42 1. Mathematische Vorbereitungen
1.7.10 Aufgabe 1.7.10
Berechnen Sie für das Vektorfeld
a(r) = αr
das vektorielle Zweifachintegral
∫
ψ = a(r) × df
F
über eine Kugel (Radius R, Mittelpunkt gleich Koordinatenursprung) und über
einen Zylinder (Radius R,LängeL).
1.7.11 Aufgabe 1.7.11
Bei bekannter Ladungsdichte ρ(r) lässt sich über
∫
Q = d 3 r ρ(r)
die elektrische Gesamtladung Q und über
∫
p = d 3 r r ρ(r)
das elektrische Dipolmoment p der Ladungsverteilung bestimmen. Berechnen
Sie diese Größen für eine homogen geladene Kugel vom Radius R:
⎧
⎨ρ ρ(r) = 0 , falls r ≤ R ,
⎩
0 sonst .
1.7.12 Aufgabe 1.7.12
Beweisen Sie die folgenden nützlichen Relationen:
1. Gradient eines Skalarproduktes:
∇(a · b) = (b ·∇)a +(a ·∇)b + b × (∇ ×a)+a × (∇ ×b) ,
2. Divergenz eines Vektorproduktes:
3. Rotation eines Vektorproduktes:
∇·(a × b) = b · (∇ ×a)−a · (∇ ×b) ,
∇×(a × b) = (b ·∇)a − b(∇ ·a)−(a ·∇)b + a(∇ ·b) .