(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

4.4 Elemente der Funktionentheorie 327
Wir zerlegen das Ringgebiet durch zwei Schnitte C ′ und C ′′ in zwei einfachzusammenhängende
Gebiete, die, wie dargestellt, mathematisch positiv durchlaufen
werden. Dann ergibt sich mit der cauchyschen Integralformel (4.313):
1. Integral:
f (z) = 1 ∮
2π i
C 2
f (ξ)dξ
ξ − z − 1
2π i
1 (C 2 ) 1 1
=
ξ − z ξ − z 0 1− z − z (C 2 )
=
0
ξ − z 0
∮
C 1
∞∑
n=0
f (ξ)dξ
ξ − z
(z − z 0 ) n
(ξ − z 0 ) n+1 .
.
Mit
a n = 1 ∮
2π i
C 2
f (ξ)dξ
(ξ − z 0 ) n+1
folgt also:
2. Integral:
∮
1
2π i
C 2
f (ξ)dξ
ξ − z
=
∞∑
a n (z − z 0 ) n .
n=0
1 (C 1 ) 1 1
= −
ξ − z z − z 0
1− ξ (C 1 ) 1
− z = −
0 z − z 0
z − z 0
= −
∞∑
(ξ − z 0 ) n−1 (z − z 0 ) −n .
n=1
∞ ∑
n=0
( ξ − z0
z − z 0
) n
=
Definieren wir nun
a −n = 1 ∮
2π i
C 1
f (ξ)dξ
(ξ − z 0 ) −n+1 ,
so ergibt sich:
− 1 ∮
2π i
C 1
f (ξ)dξ
ξ − z
=
∞∑
a −n (z − z 0 ) −n .
n=1
Nach Abschn. 4.3.11 darf in den Definitionen für a n und a −n statt C 1 , C 2 auch jeder
andere im Ringgebiet liegende, z 0 umlaufende Weg C gewählt werden. Also können