(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

1.3 Flächenintegrale 15
z
R sinϑdϕ
dϕ
df
R sin ϑ
Rdϑ
ϑ
dϑ
R
Abb. 1.4. Orientiertes Flächenelement auf der
Kugeloberfläche
Mit den Transformationsformeln ((1.261), Bd. 1),
folgt:
x = R sin ϑ cos ϕ ,
y = R sin ϑ sin ϕ ,
z = R cos ϑ ,
∂r
= R(cos ϑ cos ϕ,cosϑ sin ϕ,−sinϑ) ,
∂ϑ
∂r
= R(− sin ϑ sin ϕ,sinϑ cos ϕ,0).
∂ϕ
Dies bedeutet nach ((1.265), Bd. 1):
∂r
∂ϑ = Re ϑ ;
∂r
∂ϕ = R sin ϑe ϕ .
Mit e ϑ × e ϕ = e r ergibt sich dann für das Flächenelement der Kugeloberfläche:
Es ist radial nach außen gerichtet (s. Bild).
2) Zylindermantelfläche
Parameter-Darstellung:
df = ( R 2 sin ϑ dϑ dϕ ) e r . (1.37)
F = { r = r(ρ = R, ϕ, z) ; 0≤ ϕ ≤ 2π , −L|2 ≤ z ≤ +L|2 } .
Mit den Transformationsformeln ((1.253), Bd. 1),
x = R cos ϕ ,
y = R sin ϕ ,
z = z ,