(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

4.3 Elektromagnetische Wellen 289
Gebrochen:
E 2 = E 02 e i(k 2·r−ω 2 t) ,
B 2 = 1 u 2
(κ 2 × E 2 ), (4.251)
1
u 2 = √
. (4.252)
µ (2)
r µ 0 ε (2)
r ε 0
Wir können o. B. d. A. annehmen, dass die Grenzfläche die xy-Ebene unseres Koordinatensystems
darstellt und die Flächennormale n = e z zusammen mit dem
einfallenden Wellenvektor k 1 die xz-Ebene definiert. Bezüglich der Richtungen von
κ 1r und κ 2 wollen wir zunächst nichts festlegen, statt dessen nur annehmen, dass die
von n und κ 1r bzw. n und κ 2 aufgespannten Ebenen mit der xz-Ebene den Winkel ϕ 1r
bzw. ϕ 2 bilden. Es gilt dann:
κ 1 = sin ϑ 1 e x +cosϑ 1 e z ,
κ 1r = sin ϑ 1r cos ϕ 1r e x +sinϑ 1r sin ϕ 1r e y −cosϑ 1r e z ,
κ 2 = sin ϑ 2 cos ϕ 2 e x +sinϑ 2 sin ϕ 2 e y +cosϑ 2 e z .
Die Randbedingungen (4.247) müssen nun in jedem Augenblick an jedem Ort der
Trennfläche (z = 0) erfüllt sein. Dies ist nur dann möglich, wenn sich die Phasen der
drei Wellen auf z = 0 höchstens um ein ganzzahliges Vielfaches von π unterscheiden:
!
(k 1 · r − ω 1 t) z=0 = (k 1r · r − ω 1r t) z=0 + nπ = ! (k 2 · r − ω 2 t) z=0 + mπ .
Wir wählen speziell (r = 0, t = 0):
Für (r = 0, t ̸= 0) folgt dann:
n = m = 0.
ω 1 = ω 1r = ω 2 ≡ ω . (4.253)
Es findet bei Reflexion und Brechung an der ruhenden Trennfläche keine Frequenzänderung
statt. Für r ̸= 0 ist dann zu erfüllen:
(
k1 · r ) !
= ( k
z=0 1r · r ) !
= ( k
z=0 2 · r ) z=0 .
Dies bedeutet (x-undy-Komponente von r beliebig!):
k 1 sin ϑ 1 = k 1r sin ϑ 1r cos ϕ 1r = k 2 sin ϑ 2 cos ϕ 2 ,
0 = k 1r sin ϑ 1r sin ϕ 1r = k 2 sin ϑ 2 sin ϕ 2 .
Die zweite Gleichung ist nur durch (ϑ 1r , ϑ 2 ̸= 0)
ϕ 1r = ϕ 2 = 0 (4.254)