(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

28 1. Mathematische Vorbereitungen
Damit folgt schließlich der
gaußsche Satz:
Seien E(r) ein hinreichend oft differenzierbares Vektorfeld und V ein Volumen mit
geschlossener Oberfläche S(V),danngilt:
∫
∮
div E(r) d 3 r = E · df . (1.54)
V
Dieser außerordentlich nützliche Satz verknüpft Volumeneigenschaften eines Vektorfeldes
mit dessen Oberflächeneigenschaften. – Wir schließen einige Bemerkungen
an:
a) Wirbelfluss durch eine geschlossene Fläche:
∮
∫
rot a · df = div
} {{
rot a
}
d 3 r = 0. (1.55)
S(V)
V =0
∮
b) Ist j die Stromdichte (Strom pro Fläche), dann ist j · df der Strom durch
die Oberfläche des Volumens V. Ist schließlich ρ die Ladungsdichte (Ladung
pro Volumen) und damit ∂|∂t ∫ ρ d 3 r die zeitliche Änderung der Gesamtladung
V
in V, dann muss die zeitliche Änderung der Ladung in dem Volumen V dem
Ladungsstrom durch die Oberfläche entgegengesetzt gleich sein:
∫
V
d 3 r ∂ρ
∂t + ∮
S(V)
S(V)
j · df
!
= 0.
Mit dem gaußschen Satz folgt daraus:
∫ ( ) ∂ρ
d 3 r
∂t +divj = 0.
V
Diese Relation gilt für beliebige Volumina V,wasnurbei
∂ρ
+divj = 0 (1.56)
∂t
richtig sein kann. Dies ist die fundamentale Kontinuitätsgleichung, deren physikalischer
Inhalt uns später noch eingehend beschäftigen wird.
c) Wir leiten den gaußschen Satz für skalare Felder ab. Dazu setzen wir in (1.54)
E(r) = A ϕ(r)
ein, wobei A ein beliebiger konstanter Vektor und ϕ(r) ein skalares Feld sind. Mit
((1.153), Bd. 1) bilden wir die Divergenz:
S(V)
div E(r) = ϕ(r)divA
} {{ }
+A · grad ϕ .
=0