(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

1.6 Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz 35
a) r ̸= r ′ , δ(r − r ′ ) = 0:
1
∆
|r − r ′ | = div grad 1
|r − r ′ |
(1.153, Bd. 1)
=
(1.156, Bd. 1)
=
= 0.
= div
r − r′
|r − r ′ | 3 =
div(r − r ′ )
|r − r ′ | 3 +(r − r ′ 1
) · grad
|r − r ′ | = 3
3
|r − r ′ | 3 −3(r − r′ ) ·
r − r ′ 1
|r − r ′ | |r − r ′ | = 4
b)
Damit ist die Eigenschaft (1.3) verifiziert.
∫
V
∫
V
⎧
⎨
d 3 r δ(r − r ′ 1, falls r
) =
′ ∈ V ,
⎩
0 sonst ,
∫
d 3 1 ¯r = r − r
r ∆ r =
′
|r − r ′ d 3¯r 1
∆¯r
|
¯r .
¯V
Wegen a) ist der Integrand für ¯r ̸= 0 Null. Dies führt zu der ersten Schlussfolgerung
∫
d 3¯r 1
∆¯r
¯r = 0, falls ¯r = 0 |∈ ¯V .
¯V
¯V
Enthält ¯V den Nullpunkt, so können wir offensichtlich, ohne den Wert des Integrals
zu ändern, ¯V durch eine Kugel, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt, ersetzen:
∫
d 3¯r ∫
1
∆¯r
¯r = d 3¯r ( ) ∫ ( )
1 (1.54)
div grad ¯r = d¯f · −
¯r
1¯r 2
e¯r =
V K
(1.37)
=
∫ 2π
0
∫π
d¯ϕ
0
sin ¯ϑ d¯ϑ ¯r 2 0 e¯r
S(V K )
(
− 1¯r )
0
2 e¯r = −4π .
¯r 0 ist der Radius der Kugel. Wir haben also insgesamt gefunden:
∫
V
⎧
d 3 1 ⎨
r ∆
|r − r ′ | = −4π , falls r ′ ∈ V ,
⎩
0, falls r ′ |∈ V .
Dies entspricht (1.3). Die Behauptung (1.70) ist damit bewiesen.
(1.71)