(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

98 2. Elektrostatik
2.2.7 Aufgabe 2.2.7
Vier Ladungen q befinden sich in einem kartesischen Koordinatensystem an
den Punkten
(0, d, 0), (0, −d, 0), (0, 0, d), (0, 0, −d)
und vier Ladungen −q an den Punkten
(−d,0,0),
(− d )
2 ,0,0 ,(d,0,0), (2d,0,0).
Berechnen Sie das Dipolmoment p und den Quadrupoltensor Q dieser Ladungsanordnung.
2.2.8 Aufgabe 2.2.8
Eine gegebene Ladungsverteilung ρ(r) besitze axiale Symmetrie um die
z-Achse.
1. Zeigen Sie, dass der Quadrupoltensor diagonal ist.
2. Verifizieren Sie: Q xx = Q yy = −(1|2)Q zz .
3. Berechnen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke des Quadrupols
als Funktion von Q zz .
2.3
2.3 Randwertprobleme der Elektrostatik
2.3.1 Formulierung des Randwertproblems
Wir hatten in Abschn. 2.1.3 die Lösung der Poisson-Gleichung (2.41) als das Grundproblem
der Elektrostatik bezeichnet. Alle Überlegungen zielen deshalb darauf ab, Lösungsverfahren
für diese lineare, inhomogene, partielle Differentialgleichung zweiter
Ordnung zu entwickeln.
Falls die das Potential ϕ(r) erzeugende Ladungsdichte ρ(r ′ ) bekannt ist und keine
speziellen Randbedingungen auf Grenzflächen im Endlichen zu erfüllen sind, dann
reicht die allgemeine Lösung (2.25) völlig aus:
ϕ(r) = 1
4πε 0
∫
d 3 r ′ ρ(r ′ )
|r − r ′ |
Ist ρ räumlich begrenzt, so gilt insbesondere
ϕ −→ r→∞
0; ∇ϕ −→ r→∞
0.
(Poisson-Integral) .
Dies ist jedoch bei vielen praktischen Problemen nicht der eigentliche Ausgangspunkt.