(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

1.4 Differentiationsprozesse für Felder 25
sein sollen, dann folgt weiter:
Z Cn (a) = − ∂a x
∂y (¯x, y 0, z 0 )∆x n ∆y n +0 ( ∆x n ∆yn
3 )
+
+ ∂a y
∂x (x 0, ȳ, z 0 )∆x n ∆y n +0 ( ∆y n ∆xn
3 )
.
Beim Grenzübergang n →∞,
Z Cn
lim =
n→∞ F Cn
∆x n → 0, ∆y n → 0; F Cn =∆x n ∆y n → 0,
zieht sich der Weg C n auf den Punkt r 0 zusammen. Die Zwischenwerte ¯x, ȳ gehen in
x 0 , y 0 über:
[
− ∂a x
=
∂y (r 0)+ ∂a y
(
∂ay
∂x − ∂a x
∂y
]
∂x (r 0)
[ ( ) ( )]
+ lim 0 ∆y
2
n→∞ n +0 ∆x
2
n =
)
(r 0 ) = [∇ ×a(r 0 )] z .
Nach ((1.158), Bd. 1) stellt die rechte Seite gerade die z-Komponente der Rotation von
a dar.
Wir können nun dieselbe Überlegung für Folgen von Flächen F Cn wiederholen,
die in x- bzw. y-Richtung orientiert sind, und erhalten dann entsprechend die x-und
y-Komponenten der Rotation. Das lässt sich in der folgenden wichtigen Kurvenintegraldarstellung
der Rotation zusammenfassen:
n · rot a(r) = lim
F C →0
∮
1
F C
C
a · dr , (1.50)
n: Flächennormale von F C .
MankanndieRotationalsFlächendichte der Zirkulation interpretieren.
Rechenregeln für die Rotation sind in ((1.159), Bd. 1) bis ((1.165), Bd. 1) aufgelistet.
Die Darstellung in beliebigen krummlinigen Koordinaten folgt aus ((1.252), Bd. 1).
Wir haben im letzten Abschnitt aus der Integraldarstellung der Divergenz eine allgemeine
Form des Nabla-Operators als Flächenintegral ableiten können. Dies gelingt
auch mit Kurvenintegralen. Es sei
a(r) = b · ϕ(r) ,
wobei b ein konstanter Vektor ist und ϕ(r) ein skalares Feld; dann gilt mit (1.161,
Bd. 1):
rot a = ϕ rot
}{{}
b +(grad ϕ) × b = (grad ϕ) × b
=0
⇒ n · rot a = n · (∇ϕ × b) = b · (n ×∇ϕ) .