(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

1.1 Diracsche δ-Funktion 3
1 Mathematische Vorbereitungen
Wir wollen in diesem Kapitel zunächst die für praktische Anwendungen wichtige diracsche
δ-Funktion einführen. Es folgen Betrachtungen über Taylor-Entwicklungen
für Felder und über Flächenintegrale. Anschließend setzen wir uns mit der Vektoranalysis
auseinander.
1.1 Diracsche δ-Funktion
Um die Einführung der δ-Funktion zu motivieren, denken wir an die Klassische
Mechanik zurück. Das Konzept des Massenpunktes hatte sich unter bestimmten Voraussetzungen
als recht nützlich erwiesen. Der Schwerpunktsatz (s. Kap. 3.1.1, Bd. 1)
besagt z.B., dass sich der Schwerpunkt eines Massenpunktsystems so bewegt, als
ob die gesamte Masse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte allein auf ihn
wirken würden. Nach (4.4, Bd. 1) lässt sich die Masse M eines Körpers über ein
Volumenintegral durch die Massendichte ρ(r) ausdrücken:
∫
M = d 3 r ρ(r) .
V
Wie sieht nun aber die Massendichte eines Massenpunktes aus? Sie darf nur in einem
Punkt von Null verschieden sein,
1.1
das Volumenintegral
ρ(r) = 0 ∀r ̸= r 0 ,
∫
V
d 3 r ρ(r)
soll jedoch trotzdem endlich sein, falls r 0 im Volumen V liegt. Wir symbolisieren
ρ(r) deshalb wie folgt:
ρ(r) = M δ(r − r 0 ) (1.1)
und fordern:
∫
V
⎧
⎨
d 3 1, falls r
r δ(r − r 0 ) =
0 ∈ V
⎩
0 sonst ,
(1.2)
δ(r − r 0 ) = 0 ∀r ̸= r 0 . (1.3)
(1.2) und (1.3) sind die Definitionsgleichungen für die diracsche δ-Funktion (kurz:
δ-Funktion). Man darf das Integral (1.2) offensichtlich nicht als gewöhnliches Rie-