(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

108 2. Elektrostatik
Damit sind alle Forderungen erfüllt. Wir können mit (2.124) und (2.117) das vollständige
Resultat für das skalare Potential ϕ der Ladungsdichte ρ angeben:
ϕ(r) = 1
4πε 0
∫
V
[
]
d 3 r ′ ρ(r ′ 1
)
|r − r ′ | − 1
|r − r ′ B |
(2.125)
(
r = (x, y, z); r′ = (x ′ , y ′ , z ′ ); r ′ B = (x ′ , y ′ − z ′ ) ) . Beachten Sie, dass, wie erwartet, die
greensche Funktion G D (r, r ′ ) symmetrisch bezüglich Vertauschung von r und r ′ ist.
2.3.4 Methode der Bildladungen
Wir haben im letzten Abschnitt die formale Lösung des Randwertproblems vollständig
auf die Bestimmung der greenschen Funktion
G(r, r ′ ) = 1
4πε 0
1
|r − r ′ | + f (r, r′ )
zurückführen können, d.h. auf die Bestimmung des Potentials einer Punktladung
q = 1. Das eigentliche Problem liegt somit in der Festlegung der Funktion f (r, r ′ ),die
auf S(V) (2.116) oder (2.120) erfüllen muss. Innerhalb des interessierenden Raumbereichs
V muss f die Laplace-Gleichung erfüllen:
∆ r f (r, r ′ ) = 0 ∀ r, r ′ ∈ V .
Das legt die folgende physikalische Interpretation nahe:
f (r, r ′ ):
Potential einer Ladungsverteilung außerhalb V, das zusammen mit dem
Potential (4πε 0 |r − r ′ |) −1 der Punktladung q = 1 bei r ′ für die gegebenen
Randbedingungen auf S(V) sorgt.
Die Position dieser fiktiven Ladungsverteilung hängt natürlich von der Lage r ′ der
realen Ladung q = 1 ab.
Diese Interpretation ist der Ausgangspunkt für die Methode der Bildladungen:
ManbringtaußerhalbvonV an von der Geometrie des Problems abhängenden
Stellen fiktive Ladungen, sogenannte Bildladungen, an,durchdiediegeforderten
Randbedingungen erfüllt werden. Da diese Bildladungen außerhalb von V liegen,
stören sie andererseits die Poisson-Gleichung innerhalb von V nicht.
ρ(r ′ ) plus
Randbedingungen
⇒
ρ(r ′ ) plus Bildladungen
ohne Randbedingungen
Wir üben das Verfahren an Beispielen!