(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

2.3 Randwertprobleme der Elektrostatik 99
Definition 2.3.1: Randwertproblem:
Gegeben: ρ(r ′ ) in einem gewissen Raumbereich V, ϕ oder ∂ϕ = −E · n auf
∂n
gewissen Grenz- oder Randflächen in V.
Gesucht: Das skalare Potential ϕ(r) in allen Punkten r des interessierenden
Raumbereichs V.
Wir wollen zunächst untersuchen, unter welchen Bedingungen ein elektrostatisches
Randwertproblem eine eindeutige mathematische Lösung besitzt. Dazu benutzen
wir als wesentliche Hilfsmittel die beiden greenschen Sätze (1.67) und (1.68), mit
denen wir die Poisson-Gleichung (2.41) in eine Integralgleichung umwandeln. Setzt
man in (1.68)
ϕ → ϕ(r ′ ); ψ → 1
|r − r ′ | ,
so folgt:
∫
V
[
ϕ(r ′ )∆ r ′
∫
= −4π
=
∫
S(V)
V
1
|r − r ′ | − 1
|r − r ′ | ∆ r ′ϕ(r′ )
d 3 r ′ ϕ(r ′ )δ(r − r ′ )+ 1 ε 0
∫
V
]
d 3 r ′ =
d 3 r ′ ρ(r ′ )
|r − r ′ | =
[
df ′ ϕ(r ′ ) ∂
]
1
∂n ′ |r − r ′ | − 1 ∂ϕ
|r − r ′ | ∂n ′ .
Wir haben im zweiten Schritt (1.70) ausgenutzt und die Poisson-Gleichung (2.41)
eingesetzt. Die Normalableitungen entsprechen (1.66).
Sei nun r ∈ V, dann bleibt als Lösung für das Potential:
ϕ(r) = 1
4πε 0
∫
V
d 3 r ′ ρ(r ′ )
|r − r ′ | + 1
4π
∫
S(V)
[
df ′ 1
|r − r ′ |
∂ϕ
∂n ′ − ϕ(r′ ) ∂ 1
∂n ′ |r − r ′ |
]
.
(2.106)
Wir wollen diese Beziehung diskutieren:
1. ρ in V und ϕ bzw. ∂ϕ|∂n = n · ∇ϕ auf S(V) (n: Flächennormale) bestimmen das
Potential in ganz V. Vorhandene Ladungen außerhalb von V gehen nur implizit
über die Oberflächenintegrale ein.
2. Ist V ladungsfrei, dann gilt mit r ∈ V:
ϕ(r) = 1 ∫
4π
S(V)
df ′ ( 1
|r − r ′ |
∂ϕ
∂n ′ − ϕ(r′ ) ∂ 1
∂n ′ |r − r ′ |
)
. (2.107)
ϕ ist also vollständig durch seine Werte und die seiner Normalableitung auf S(V)
bestimmt.
2.3.1