(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

310 4. Elektrodynamik
y
C
ϕ
x
Abb. 4.51. Geschlossener Weg in der komplexen Zahlenebene zur
Illustration einer mehrdeutigen Funktion
Ist C ein geschlossener Weg, der den Punkt z = 0 einmal umfährt (ϕ = ϕ 0 →
ϕ = ϕ 0 +2π), dann hat wegen e iπ = −1 f (z) nach einem Umlauf das Vorzeichen
gewechselt. √ z ist also zweideutig!
4.4.7 Definition 4.4.7 f (z) heißt analytisch (regulär) in einem Gebiet G der z-Ebene, wenn
f (z) in allen Punkten z ∈ G differenzierbar und eindeutig ist.
Es gelten die folgenden Sätze:
1. Sind die partiellen Ableitungen der reellen Funktionen u(x, y), v(x, y) nach den
reellen Variablen x und y stetig in G und erfüllen sie die Cauchy-Riemann-
Differentialgleichungen (4.298), so ist
f (z) = f (x + iy) = u(x, y)+i v(x, y)
analytisch in G.
2. Sind f 1 (z), f 2 (z) analytisch in G,sosinddiesauch
f 1 ± f 2 , f 1 f 2 , f 1 |f 2 (f 2 ̸= 0) .
3. Jede in G analytische Funktion besitzt dort stetige, analytische Ableitungen
beliebig (!) hoher Ordnung.
4.4.3 Integralsätze
f (z) sei eine in einem Gebiet G stetige Funktion der komplexen Variablen z; z 0 und z ∗
seien zwei beliebige Punkte aus G und C ein zwischen z 0 und z ∗ ganz in G verlaufender
Weg.
Das komplexe Kurvenintegral
I =
∫ z∗
f (z)dz
z 0
(C)