(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

1.5 Integralsätze 29
Dieses ergibt in (1.54), da A ein beliebiger Vektor ist:
∫
∮
grad ϕ d 3 r = ϕ df . (1.57)
d) Setzen wir nun
V
S(V)
E(r) = A × b(r) ,
wobei A wiederum ein konstanter Vektor und b(r) ein Vektorfeld sind. Wir nutzen
aus und finden damit:
∮
∫
V
Wegen (1.54) gilt dann:
S(V)
div(A × b) = b · rot
} {{
A
}
−A · rot b
=0
df · (A × b) = −A ·
∮
S(V)
∫
div(A × b) d 3 r = −A ·
∫
V
rot b d 3 r =
∮
S(V)
V
df × b ,
rot b d 3 r .
df × b . (1.58)
(1.54), (1.57) und (1.58) sind verschiedene Formulierungen des gaußschen Satzes,
die man wie folgt zusammenfassen kann:
∮
∫
df ○ ...= d 3 r ∇○... (1.59)
Dabei steht wie in (1.48):
S(V)
○ = · für skalare Felder ϕ ,
V
= · oder × für Vektorfelder E, b .
1.5.2 Der stokessche Satz
Mit einer Beweisidee, die der des letzten Abschnitts sehr ähnlich ist, leiten wir nun
einen Satz ab, der für ein beliebiges Vektorfeld das Linienintegral über den Rand
einer beliebig großen und beliebig orientierten Fläche mit dem entsprechenden
Flächenintegral verknüpft.
Die Fläche F sei durch die Randkurve C begrenzt.Esmusssichdabeinichtnotwendig
um eine ebene Fläche handeln. Sie kann jedoch näherungsweise durch n