(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

250 4. Elektrodynamik
sind. Wir können daher o.B.d.A. ω ≥ 0 annehmen, da durch den Ansatz (4.130)
bereits beide Vorzeichen impliziert sind. (4.130) ist allerdings nur dann Lösung,
wenn zwischen ω und k eine bestimmte Relation erfüllt ist, die wir durch Einsetzen
in die Wellengleichung leicht finden:
∆ψ = k 2 ψ ′′ ∂ 2
;
∂t ψ = 2 ω2 ψ ′′ .
Hier ist mit ψ ′′ die zweite Ableitung nach der Phase ϕ ∓ , also dem vollen Argument,
gemeint. Die Wellengleichung hat damit die Gestalt:
) (k 2 − ω2
ψ ′′
u 2 (r, t) =
und wird gelöst durch
(k 2 − ω2
u 2 )( d 2 f −
dϕ 2 −
)
+ d2 f +
dϕ+
2 ≡ 0
ω = uk. (4.132)
Wir wollen die Lösung (4.130) genauer untersuchen, uns dabei aber auf die Teillösung
f − beschränken.
Bei konstanter Phase ϕ − (r, t) ist offensichtlich auch f − konstant, d.h., Flächen
gleicher Phase sind auch Flächen konstanter f − -Werte. Betrachten wir eine Momentaufnahme
bei t = t 0 ,
ϕ − (r, t 0 ) = k · r − ωt 0 ,
so ist die Fläche konstanter Phase ϕ − durch die Bedingung
k · r = const
definiert. Dieses ist aber die Gleichung einer Ebene (Wellenfront)senkrechtzuk.Für
alle Punkte r mit gleicher Projektion k·r auf die Richtung von k hat f − denselben Wert.
k
r 1
0
r 2
r 3
Abb. 4.31. Wellenfronten einer ebenen Welle
Betrachten wir den gesamten Raum-Zeit-Ablauf, so lautet die Bedingung für die
Bewegung einer Ebene konstanter Phase ϕ (0)
− :
k · r − ωt = kr ‖ − ωt = ϕ (0)
−
⇒ r ‖ = r · k
k
!
= const
= ϕ (0)
− + ω k t .