(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

2.3 Randwertprobleme der Elektrostatik 107
Die zweite Bedingung versuchen wir durch (2.116) zu realisieren, d.h.
G D (r, r ′ ) ! = 0 für r ∈ S(V) .
Wir betrachten zunächst die xy-Ebene, die einen Teil von S(V) darstellt. Dort ist zu
fordern:
f D (r, r ′ !
−1
) → = √
(z=0) 4πε 0 (x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(−z ′ ) . 2
Dies legt für f D (r, r ′ ) den folgenden Ansatz nahe:
f D (r, r ′ ) =
−1
4πε 0 |r − r ′ B | .
Dabei soll r ′ B aus r′ durch Spiegelung an der xy-Ebene entstehen:
r ′ = (x ′ , y ′ , z ′ ) ⇒ r ′ B = (x ′ , y ′ ,−z ′ ). (2.123)
Dies bedeutet:
f D (r, r ′ ) =
−1
4πε 0
√
(x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z + z ′ ) 2 .
Wenden wir den Laplace-Operator auf das so definierte f D (r, r ′ ) an, so ergibt sich:
∆ r f D (r, r ′ ) = 1 ε 0
δ(r − r ′ B ) = 1 ε 0
δ(x − x ′ )δ(y − y ′ )δ(z + z ′ ) =
= 0 ∀ r, r ′ ∈ V .
Damit ist die erste Forderung an f D (r, r ′ ) erfüllt. Mit unserem Ansatz für f D lautet die
gesamte greensche Funktion:
G D (r, r ′ ) = 1 ( )
1
4πε 0 |r − r ′ | − 1
|r − r ′ B | =
= 1
[
1
√
4πε 0 (x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z − z ′ ) − 2
]
1
−√ . (2.124)
(x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z + z ′ ) 2
Auf der xy-Ebene (z = 0) kompensieren sich die beiden Summanden in der Klammer.
Für die im Unendlichen liegenden Begrenzungsflächen von V ist jeder Summand für
sich bereits Null:
G D (r, r ′ ) = 0 ∀ r, r ′ ∈ S(V) .