(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

116 2. Elektrostatik
2) Vollständigkeit
müssen wir uns etwas mehr Gedanken machen. Es sei
Wir definieren dann
f (x) eine quadratintegrable Funktion .
f N (x) =
N∑
c n U n (x)
n=1
und fragen uns, wie die c n gewählt werden müssen, damit f N (x) die vorgegebene
Funktion f (x) möglichst gut approximiert, d.h. damit
wird.
∫ b
a
Wir bilden
∫ b
dx ∣ ∣f (x)−f N (x) ∣ ∣ 2 =
−
a
N∑
n=1
dx ∣ ∣f (x)−f N (x) ∣ ∣ 2 ! = minimal
c n
∫ b
a
∫b
0 = ! ∂ ∫ b
...= −
∂c n
a
dxf ∗ (x)f (x)−
dxU n (x)f ∗ (x)+
a
N∑
n=1
c ∗ n
∫ b
a
N∑
cn ∗ c n .
n=1
dxU n (x)f ∗ (x)+c ∗ n ,
0 = ! ∂ ∫ b
...=
∂cn
∗ − dxUn ∗ (x)f (x)+c n .
Die „beste“ Wahl der Koeffizienten c n ist also:
c n =
∫ b
a
a
dxUn ∗ (x)f (x)−
dxUn ∗ (x)f (x) . (2.140)
Rein intuitiv würde man erwarten, dass die Approximation von f (x) durch f N (x)
immer besser wird, je mehr Terme des Funktionssystems {U n (x)} berücksichtigt
werden. Man spricht von
Konvergenz im Mittel,