(7ed., Springer, 2001)(ISBN 3540205098)(de)(O)(512s).

4.4 Elemente der Funktionentheorie 331
Also gilt für r → 0:
I 0 = a −1
∫
Der letzte Schritt folgt wie in (4.312).
Zurück zu unserem Beispiel. Wir setzen
C 0
dz
z − z 0
= −a −1 π i . (4.324)
f (z) = eiz
z .
Diese Funktion hat bei z = 0 einen Pol erster Ordnung mit dem Residuum:
a −1 = lim zf(z) = 1.
z→0
Im Inneren von C liegt kein Pol:
Dies bedeutet:
∮
0 =
C
I 1 =
e iz dz
z
∫ −r
−R
= ( I 1 + I 2 + I 3
)
R →∞
r → 0
e ix
∫ R
x dx ; I 2 =
( )
I1 + I 2 R →∞ = 2i
r → 0
Auf dem Halbkreis ist z = R(cos ϕ + i sin ϕ)
⇒
⇒
dz
z
r
∫ ∞
0
e ix
x dx .
sin x
x dx .
− i π ,
−sinϕ + i cos ϕ
= dϕ = +i dϕ
cos ϕ + i sin ϕ
∫π
⇒ I 3 = i
0
∫π
⇒ |I 3 |≤
lim I 3 = 0 ⇒ 0 = 2i
R→∞
Daraus ergibt sich das Schlussresultat:
∫+∞
−∞
i R(cos ϕ+i sin ϕ)
dϕ e
0
−R sin
dϕ e
ϕ
∫ ∞
0
sin x
x dx = π .
sin x
x dx − i π .