Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

378 H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394
Preuve de (4.2). Soient
on a
Par le fait que
Comme
J1 =
J2 =
{g∈H 1 ;d(g)A∞}
{g∈H 1 ;d(g)>A∞}
d(g)p(g) ·
f(g)−fo dg,
d(g)p(g) ·
f(g)−fo dg.
∇p g −1 L2d g −1 p g −1 = L2d(g)p(g),
e |∇f |
(o) =
∇e f (o) L2(J1 + J2).
H 1
p g −1
|∇f |(g) dg =
H 1
p(g)|∇f |(g) dg,
pour démontrer (4.2), il nous reste à montrer qu’il existe une constante C>0, qui ne dépend pas
de f , telle que
J1 + J2 C p(g)|∇f |(g) dg. ✷
4.1. Estimation de J1
On voit que
f(g)− fo
H 1
f1(g) − fo
+ f(g)−f1(g) .
La formule de représentation (voir (2.2)) nous dit que
Par ailleurs,
J11∗ = f(g)− f1(g) C1
= C1
B(g,1)
B(g,1)
∇f(g ′ )
d(g,g ′ )
|B(g,d(g,g ′ ))| dg′
∇f(g ′ )
d(g ′ ,g)
|B(g ′ ,d(g ′ ,g))| dg′ , par (4.1).
J12∗ = fo − f1(g) fo − fA∞+2(o) + f1(g) − fA∞+2(o) .