Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

386 H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394
donc,
p(g) 100L 2 1pg(i) e − i 5 d−3/2 (g ′
) sin s(i)μ−1 (t/x2 )
sin μ−1 (t/x2 1/2 .
)
Et pour terminer la preuve du Lemme 4.2, il nous reste à montrer que
En fait, on va montrer que
p g(i) 4p(g ′ ).
p(g(i))
p(g ′ )
− 1
1. (4.13)
Preuve de (4.13). On observe que
p(g(i))
p(g ′
− 1
) = d(g′ , g(i))
p(g ′
∇p(g∗)
)
avec g∗ ∈ B g ′ , 4d−5/2 (g) .
Mais, par les estimations de p et de |∇p| (voir (3.8) et (3.9)), on a
1
p(g ′ 1 d
2 ′
L1 1 + d (g ) 2 e
) 2 (g ′ )
4 2L1d(g ′ )e d2 (g ′ )
4 ,
∇p(g∗)
′ −5/2 −
L2d(g∗)p(g∗) L1L2 d(g ) + 4d (g) e (d(g′ )−4d−5/2 (g)) 2
4
4L1L2d(g ′ )e − d2 (g ′ )
4 ,
par (4.9) et le fait que d(g) > 1000.
D’ailleurs, (4.9) et le fait que g ∈ Σ nous disent que
On a donc (4.13). ✷
d g ′ ,g(i) < 4d −5/2 (g) < 5d −2 (g)A −1/2
∞
< 8L 2 1L2 −1d −2 ′
(g ).
Preuve du Lemme 4.3. Par (4.9), on peut supposer que d(g ′ )> 1 2 A∞.
Rappelons que
et que
2ϕ − sin 2ϕ
μ(ϕ) =
2sin2 : ]−π,π[→R,
ϕ
ψ(x,ϕ)= x,μ(ϕ)x 2 : (x, ϕ) ∈ R 2 ×]−π,π[; x = (0, 0) → (x, t) ∈ H 1 ; x = 0
est un C 1 -difféomorphisme. Notons Dψ(x,θ) la matrice jacobienne de ψ en (x, θ), ona