Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

Donc,
H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394 391
x1(i) = 1
x1 sin θ + sin 2s(i) − 1 θ + x2 cos θ − cos 2s(i) − 1 θ ,
2sinθ
(4.22)
x2(i) = 1
−x1 cos θ − cos 2s(i) − 1 θ + x2 sin θ + sin 2s(i) − 1 θ .
2sinθ
(4.23)
dx1(i)
ds(i)
dx2(i)
ds(i)
θ
= x1 cos
sin θ
2s(i) − 1 θ + x2 sin 2s(i) − 1 θ , (4.24)
θ
= −x1 sin
sin θ
2s(i) − 1 θ + x2 cos 2s(i) − 1 θ . (4.25)
Par (4.19)–(4.21), (4.24) et (4.25), on constate d’abord que
R ∗ 11 = s′ (i) 1
θ
d(g)
sin θ
R ∗ 12 = s′ (i) 1
θ
d(g) sin θ
3
x 2 cos 2s(i) − 1 θ,
3
x 2 sin 2s(i) − 1 θ,
puis, en utilisant le fait que d 2 (g) = ( θ
sin θ )2 x 2 (voir (3.3)), que
Donc,
R ∗ 11 = s′ (i)d(g) θ
sin θ cos 2s(i) − 1 θ,
R ∗ 12 = s′ (i)d(g) θ
sin θ sin 2s(i) − 1 θ.
K1R ∗ 11 + K2R ∗ 12
= s ′ (i)d(g) θ
cos s(i) − 1 θ cos 2s(i) − 1 θ + sin s(i) − 1 θ sin 2s(i) − 1 θ
sin θ
= s ′ (i)d(g) θ
cos s(i)θ.
sin θ
Par conséquent,
Calcul de R2. Soient
sin s(i)θ
R1 = s(i)
sin θ
2 sin s(i)θ
+ s(i) s
sin θ
′ (i)d(g) θ
cos s(i)θ. (4.26)
sin θ
R ∗ 21 =
sin s(i)θ
sin θ
2 ∂s(i)
∂θ ,