Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

390 H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394
Calcul de R1. Puisque la première colonne de R∗ 1 peut s’écrire comme
et la seconde colonne de R ∗ 1
on a
où on a noté
on a
sin s(i)θ
sin θ
K1
+
−K2
∂s(i)
∂x1
peut s’écrire comme
sin s(i)θ
sin θ
K2
K1
+ ∂s(i)
∂x2
dx1(i)/ds(i)
,
dx2(i)/ds(i)
dx1(i)/ds(i)
,
dx2(i)/ds(i)
R ∗ 1 =
2
sin s(i)θ K1 K2
sin θ −K2 K1
+ sin s(i)θ
∂s(i)
sin θ ∂x2
K1
−K2
dx1(i)/ds(i)
∂s(i)
dx2(i)/ds(i) +
∂x1
dx1(i)/ds(i)
dx2(i)/ds(i)
K2
K1
2 sin s(i)θ
=
+
sin θ
sin s(i)θ
K1R
sin θ
∗ 11 + K2R ∗
12 ,
R ∗ 11
∂s(i) dx2(i)
=
∂x2 ds(i)
∂s(i) dx1(i)
+
∂x1 ds(i) , R∗ 12
∂s(i) dx1(i)
=
∂x2 ds(i)
− ∂s(i)
∂x1
Il nous reste à calculer ∂s(i)/∂x1, ∂s(i)/∂x2, dx1(i)/ds(i) et dx2(i)/ds(i).
Dans la suite, pour simplifier les notations, on pose
s ′ (i) =
d 7
s(i) =
d(d(g)) 2 id−9/2 (g).
On commence par calculer ∂s(i)/∂x1 et ∂s(i)/∂x2. Par le fait que (voir (3.3))
d 2
θ
2x
2
(g) =
1 + x
sin θ
2 2 ,
dx2(i)
. (4.19)
ds(i)
∂s(i)
= s
∂x1
′ 1 ∂d
(i)
2d(g)
2 (g)
= s
∂x1
′ (i) 1
2 θ
x1,
d(g) sin θ
(4.20)
∂s(i)
= s
∂x2
′ 1 ∂d
(i)
2d(g)
2 (g)
= s
∂x2
′ (i) 1
2 θ
x2.
d(g) sin θ
(4.21)
On calcule maintenant dx1(i)/ds(i) et dx2(i)/ds(i). Par (4.15), (4.16) et des formules élémentaires
liant les fonctions trigonométriques, on peut écrire