Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

382 H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394
4.2.2. Estimation de J22
Rappelons que
A∞ = e 1000 (L1 + L2) 8 ,
où les deux constantes L1,L2 > 1 proviennent de (3.8) et (3.9) respectivement.
Rappelons aussi que
où
J22 =
Σ
d(g)p(g)
f(g)−f2d−5/2 (g) g N(g) dg,
Σ = R 2 × R \ (0, 0,t); t ∈ R
; d(g) > A∞ ,
N(g)= 100d 3/2 (g) ln d(g) + 1, g N(g) = γ 1 − N(g)d −7/2 (g) ,
et γ désigne la géodésique minimale (unique) d’origine à g = (x, t), qui est définie par (3.4)–
(3.6).
La difficulté de la preuve du Théorème 1.1 se trouve à montrer qu’il existe une constante
C>0 telle que pour toute f ∈ C∞ o (H1 ),ona
J22 C p(g) ∇f(g) dg. (4.5)
Dans la suite, pour simplifier les notations, on note
Et on remarque que
On estime maintenant
Observons que
N(g)−1
J22∗
H 1
g = (x, t) ∈ Σ,
s(i) = 1 − id −7/2 (g), pour 0 i d(g)N(g),
g(i) = x(i),t(i) = x1(i), x2(i), t(i) = γ s(i) .
d g(i),g(j) =|i − j|d −5/2 (g), ∀0 i, j d(g)N(g).
i=0
J22∗ =
f(g)−f2d−5/2 (g) g N(g) .
f g(i) − f g(i + 1) + f g N(g)
− f2d−5/2 (g) g N(g) .
Par la formule de représentation (voir (2.2)), on a