Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

384 H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394
Donc, pour montrer (4.5), il nous reste à montrer le résultat suivant :
Proposition 4.1. Il existe une constante C>0 telle qu’on a
Preuve. Observons que
J ∗ 22 Cp(g′ ), ∀d(g ′ ln A∞
)>A∞ − 100 − 5A
A∞
−5/2
∞ . (4.7)
Q = 0 ⇒ d g ′ ,g(i) 4
<
d5/2 (g)
pour un certain 0 i N(g)+ 1
⇒
d(g ′ ) + 4/d5/2 (g)
1 − 200(ln d(g))/d2 d(g(i))
d(g) =
(g) s(i) d(g′ 4
) −
d5/2 (g)
⇒ d(g′ )/d(g) + 4/d7/2 (g)
1 − 200(ln d(g))/d2 (g) 1 d(g′ )
d(g) −
4
d7/2 .
(g)
(4.8)
En particulier, on a
N(g ′ ) − 1 N(g) N(g ′ ) + 1, et
En utilisant (4.1), on a donc
Q 2d(g ′ N(g
)
′ )+1
Par conséquent,
Rappelons que
i=0
J ∗ 22 2d(g′ N(g
)
′ )+1
2
√ d(g) d(g
5 ′ √
5
) d(g). (4.9)
2
d(g ′ , g(i))
|B(g ′ ,d(g ′ , g(i)))| χ
(g, g ′ ) ∈ Σ × H 1 ; d g ′ ,g(i) <
i=0
{g∈Σ;d(g ′ ,g(i))