Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

374 H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394
où
f(g ′ ) − fr(g) C
B(g,r)
∇f(g∗)
d(g ′ ,g∗)
|B(g ′ ,d(g ′ ,g∗))| dg∗, ∀g ′ ∈ B(g,r), (2.2)
fr(g) = B(g,r) −1
B(g,r)
f(g ′ )dg ′ .
On remarque aussi que sur H 1 , l’inégalité de Poincaré (2.1) et la formule de représentation
(2.2) sont équivalentes, voir [19] (ou bien voir [10,11] pour des résultats un peu faibles mais
suffisants pour montrer notre résultat).
3. Quelques résultats sur H 1
3.1. Rappel sur la structure sous-riemannienne de H 1
On rappelle dans cette partie l’expression explicite de la distance de Carnot–Carathéodory et
de la géodésique minimale entre l’origine o et (x, t) ∈ H 1 . Presque tous les résultats de cette
partie proviennent de [5, pp. 635–644] et [12].
Dans la suite, pour simplifier les notations, on suppose que
Posons
Alors
x = (x1,x2) = (0, 0).
2ϕ − sin 2ϕ
μ(ϕ) =
2sin2 : ]−π,π[→R. (3.1)
ϕ
ψ(x,ϕ)= x,μ(ϕ)x 2 : (x, ϕ) ∈ R 2 ×]−π,π[; x = (0, 0) → (x, t) ∈ H 1 ; x = (0, 0)
est un C 1 -difféomorphisme.
Notons μ −1 et ψ −1 la fonction réciproque de μ et de ψ respectivement, alors
d 2 2 θ
(x, t) = x
sin θ
2
avec θ = μ −1
t
x2
(voir (1.40) et (1.30) de [5], et on a posé a = τ = 1 et remplacé 2θ par θ dans (1.30)), et la
géodésique minimale unique entre l’origine et (x, t),
γ(s)= x1(s), x2(s), t(s) : [0, 1]→H 1 ,
s’écrit comme (il suffit de poser a = τ = 1 et de remplacer 2θ par θ dans le Theorem 1.21 de [5])
(3.2)
(3.3)