Estimation optimale du gradient du semi-groupe de la chaleur sur le ...

et
et
Donc,
H.-Q. Li / Journal of Functional Analysis 236 (2006) 369–394 383
f g N(g) − f2d−5/2 (g) g N(g)
C
∇f(g ′ )
d(g(N(g)),g ′ )
|B(g(N(g)),d(g(N(g)),g ′ ))| dg′ ,
B(g(N(g)),4d −5/2 (g))
f g(i) − f g(i + 1)
f g(i)
− f2d−5/2 (g) g(i) + f g(i + 1)
− f2d−5/2 (g) g(i)
C
∇f(g ′ )
d(g(i),g ′ )
|B(g(i), d(g(i), g ′ ))| dg′
J22 C
B(g(i),4d −5/2 (g))
+ C
B(g(i+1),4d −5/2 (g))
N(g)
J22∗ C
Σ
i=0
B(g(i),4d−5/2 (g))
N(g)
d(g)p(g)
i=0
′
∇f(g )
d(g(i + 1), g ′ )
|B(g(i + 1), d(g(i + 1), g ′ ))| dg′ .
B(g(i),4d −5/2 (g))
∇f(g ′ )
d(g(i),g ′ )
|B(g(i), d(g(i), g ′ ))| dg′ , (4.6)
∇f(g ′ )
d(g(i),g ′ )
|B(g(i), d(g(i), g ′ ))| dg′
dg.
Avant de continuer la preuve de (4.5), on doit dire au lecteur que l’étape crucial pour démontrer
(4.5) (et donc le Théorème 1.1) se trouve à obtenir l’estimation (4.6) et que le choix
de {g(i)}0ig(N) et d −5/2 (g) dans l’estimation (4.6) n’est pas unique mais très délicat (il dépend
des estimations optimales du noyau de la chaleur et de son gradient ainsi que la structure
sous-riemannienne de H 1 ).
Notons χ la fonction caractéristique,
Q = Q(g, g ′ N(g)
) = d(g)
i=0
d(g ′ , g(i))
|B(g(i),d(g ′ , g(i)))| χ
(g, g ′ ) ∈ Σ × H 1 ; d g ′ ,g(i) <
J ∗ 22 =
Alors, en utilisant le théorème de Fubini, on a
J22 C
Σ
p(g)Qdg.
d(g ′ )>A∞−100(ln A∞)/A∞−5A −5/2
∞
∇f(g ′ ) J ∗ 22 dg′ .
4
d5/2
,
(g)