Vorm-actieve constructies. Vrije Universiteit Brussel, Afdeling ...

Vrije Universiteit Brussel Vorm-actieve constructies. 03/01/09
y
nxx
+ nyy dy
nyy d
dy
nxy
py pz y
nyx
+dn yx dy
dy
p x
nyy
x
nxx +dnxx
dx dx
n
x
n xy + dnxy dx
dx
Fig. 303. Spanningen op een elementair deeltje.
Beschouwt men de belasting px, py, pz.
Het krachtenevenwicht in de x-richting (en in de y-richting) is
(δnxx /δx) dx.dy + (δnyx /δy) dy.dx + px .dx.dy = 0
δnxx /δx + δnyx /δy + px = 0
δnyy /δy + δnxy /δx + py = 0
Het momentenevenwicht om de z-as in het punt (dx,dy) levert:
nxy = nyx (3)
Rekening houdend met het feit dat voor dx en dy klein ook de
veranderingen in de helling klein zijn, kan men stellen dat:
sin (dΦx) = dΦx
sin (dΦy ) = dΦy
yx
en wordt het verticaal evenwicht
nxx ((δΦx /δx).dx).dy + nyy ((δΦy /δy).dy).dx +
nxy ((δΦy /δx).dx).dy + nyx ((δΦx /δy).dy).dx + pz .dx.dy = 0
Deze betrekking wordt na substitutie van (1), (2) en (3):
nxx /Rx + nyy /Ry +2.nxy /Rxy + pz =0
In de hoofdkrommingsrichtingen is
nxx /Rx + nyy /Ry + pz =0
Met deze vergelijkingen kan men de spanningen nxx , nyy , nxy en nyx
bepalen indien de vorm van het membraan gekend is.
Is er geen belasting loodrecht op het membraan (pz = 0) dan is
nxx /nyy = -Rx /Ry
waaruit volgt dat:
- de normaalspanningen in de hoofdrichtingen evenredig zijn met
de kromtestralen en
- het oppervlak een anticlastische vorm heeft (nxx en nyy >0 bij een
membraan).
Bij een zeepvlies is nxx = nyy = n, en dus
n.(1/Rx +1/Ry ) = -pz
Enkel indien pz = 0 is
Rx = -Ry .
Prof. M. Mollaert 155