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Um modelo para projeto ótimo baseado em confiabilidade aplicado a vigas em concreto armado
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Assim, a formulação final do problema pode ser apresentada da seguinte forma:
Minimizar: C ( pk
) = bw
( p1 + d' ) Cc
+ ( p2
+ p3
) ρ
sCs
+ [ bw
+ 2( p1
+ d'
)] C
f
Sujeito à:
1( pk
) = 0,68bw
p1
fcd
β
x
+ p3
f
yd
− p2
f
yd
= 0
2 2
2( pk
) = 0,408bw
p1
fcd
β
x
+ p3
f
yd
( p1β
x
− d'
) + p2
f
yd
( p1
− p1β
x
)
3( pk
) = ρac
p1
− p3
− p2
≥ 0
4( pk
) = mp2
− p3
≥ 0
2
2
2
( p ) = a + a p + a p + a p + a p + a p + a p − β ≥ 0
h
h
g
g
g
5
k
0
1
3
2
3
3
2
4
2
3
1
4
1
a
− M
d
= 0
(1)
onde C(p k ) é a função custo por metro de viga, b w é a largura da seção transversal, d’ é a distância do
centro da armadura comprimida até a face da seção, ρ s é a massa específica do aço, C c é o custo do
concreto por unidade de volume, C s é o custo da armadura por unidade de massa, C f é o custo da
fôrma por unidade de área, f cd é a resistência de cálculo à compressão do concreto, f yd é a resistência
de cálculo à tração do aço, β x é a posição adimensional da linha neutra, ρ ac é a porcentagem máxima
de armadura permitida na seção transversal adotada em 4%, m = 0,5 para limitar a quantidade de
armadura comprimida em no máximo 50% da armadura tracionada e M d é o momento solicitante de
cálculo. As variáveis otimizadas são: p 1 = altura útil da seção, p 2 = área da armadura de tração, p 3 =
área da armadura de compressão.
A restrição de confiabilidade dada por g 5 é obtida a partir do RSM. O ponto ótimo é
posicionado como o centro do plano de experiência escolhido. São dadas pequenas variações nas
variáveis de otimização, gerando um conjunto de pontos do plano. Para cada ponto gerado desse
plano, realiza-se uma análise completa de confiabilidade, de modo que o vetor de respostas para a
regressão por mínimos quadrados é o vetor formado pelos índices de confiabilidade obtidos para cada
ponto do plano de experiência. Após isso, a regressão é realizada, obtendo-se uma função polinomial
de segundo grau sem termos cruzados na forma de uma superfície de confiabilidade-alvo, onde β a é o
valor do índice de confiabilidade-alvo e os a i são os coeficientes obtidos na regressão da superfície.
O problema de otimização definido na Eq. (1) foi resolvido aplicando-se a rotina DNCONF da
biblioteca matemática IMSL do Compaq Visual Fortran 6.6. Essa rotina foi proposta por Schittkowski
(1986) e usa um método de Programação Seqüencial Quadrática (SQP).
4 RESULTADOS OBTIDOS OU ESPERADOS
O modelo foi testado em uma viga biapoiada isostática submetida a duas cargas concentradas
nos terços do vão, conforme mostra a Figura 2. O objetivo da análise é dimensionar a viga
considerando o modelo proposto de RBDO para os casos de comportamento elástico-linear e nãolinear
dos materiais, com índice de confiabilidade-alvo de 4,0.
A armadura de cisalhamento é dimensionada após a obtenção da configuração ótima da viga.
A largura da viga foi mantida constante no valor de 12cm. As variáveis aleatórias utilizadas na análise
de confiabilidade foram a resistência do concreto (média = 27MPa e coeficiente de variação = 15%) e
a resistência do aço (média = 500MPa e coeficiente de variação = 8%), ambas com distribuição
normal e independentes. Com relação à parte mecânica do modelo, a viga foi discretizada em 6
elementos finitos de mesmo comprimento, com 6 pontos de Gauss no comprimento de cada elemento
e 20 na altura.
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 53, p. 145-149, 2009