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Robenson Luiz Minski & Humberto Breves Coda
e atualizada. Aqui neste trabalho foi utilizado a descrição Lagrangiana total, como em outras
formulações encontradas nos artigos de Surana (1983) e Schulz & Filippou (1990).
Uma outra formulação não linear de destaque é a formulação de cinemática exata que pode
ser encontrada em diversas produções, como os artigos de Reissner (1973), Simo et al. (1986) e
Wriggres & Simo (1990), sendo estes baseados na teoria não linear de vigas de Reissner. Deve-se
comentar que a formulação aqui utilizada se enquadra nesta categoria, sendo o tratamento da não
linearidade geométrica da estrutura baseada numa formulação posicional (Método dos Elementos
Finitos Posicional – MEF Posicional), apresentado em Coda (2004) e Coda & Geco (2004) para
problemas estáticos. Já os problemas dinâmicos tiveram embasamento em um algoritmo desenvolvido
por meio de uma família de integradores temporais de Newmark, aplicado em Greco & Coda (2006).
O comportamento do contorno em problemas dinâmicos com impacto, pode ser solucionado
conhecido método dos multiplicadores de Lagrange utilizado nos artigos de Simo et al. (1985), Nour-
Omid & Wriggers (1986), sendo este o método empregado neste trabalho.
A primeira dificuldade no desenvolvimento de algoritmos para problemas de contato/impacto é
determinar a ocorrência do mesmo. O trabalho apresentado a seguir pode ser enquadrado na técnica
“master-slave”, onde cria-se uma superfície adicional ao anteparo rígido delimitando uma região que
servirá de apoio na determinação do contato.
2 FORMULAÇÃO NÃO LINEAR GEOMÉTRICA (MEF - POSICIONAL)
A formulação do (MEF-Posicional) para problemas de pórticos planos, utiliza o Princípio da
Mínima Energia Potencial Total, e tem como parâmetros nodais, para um elemento com aproximação
l
geométrica qualquer, as posições Y e giro θ , para cada nó l e direção i .
l
i
Para um problema estrutural associado com um sistema de referencia fixo, o funcional de
energia potencial total, pode ser escrito como a composição da energia de deformação total U , a
energia potencial das forças conservativas (externas) aplicadas P e a energia cinética K , como
segue:
Π = U e
− P + K
(1)
A forma integral da energia de deformação é escrita como a integral da energia de deformação
específica u
e em V
0 (volume inicial), expressa por:
1
U
e
= ∫ uedV0
= ∫ EijCijkl
EkldV0
(2)
2
onde
V0
V0
A energia potencial das forças externas é escrita como:
P = F Y i i
(3)
Y
i representa o conjunto de parâmetros nodais (posições e giros), posicionados onde atuam as
F
i , na direção i . Nota-se que esta energia pode ser diferente de zero na configuração inicial.
forças
A energia cinética é dada por:
K
1
=
0Y Y
∫ ρ
i idV
0
2
(4)
V0
onde Y i é a velocidade e ρ
0
a densidade de massa no volume inicial.
Para a resolução do impacto através do multiplicador de Lagrange uma parcela adicional
C
aparece no funcional de energia total Π , dada por:
e
Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 53, p. 181-185, 2009