Studijní text [pdf] - E-learningové prvky pro podporu výuky ...

Progresivní metody v třískovém obrábění
Jestliže platí, že b 1 ÷ b m ≠ 0, nazýváme toto řešení nedegenerovaným, v případě, že alespoň
jeden z absolutních členů soustavy se rovná nule, pak i příslušná základní proměnná se rovná nule
a toto řešení se nazývá degenerované.
Ve druhé etapě přecházíme pomocí dovolených úprav od jednoho základního přípustného
řešení k jinému základnímu přípustnému řešení s lepší hodnotou kriteriální funkce tak dlouho, až
dojdeme k optimálnímu řešení nebo zjistíme, že optimální řešení neexistuje.
Problémy LP, vedoucí k matematickému modelu typu A . x < b jsou nejjednoduššího případu,
které lze simplexovou metodou řešit, protože zavedením přídavných proměnných získáme
okamžitě soustavu rovnic v kanonickém tvaru. Řešení optimálních řezných podmínek ve stanovené
oblasti přípustných řešení na základě určených omezení je však v našem případě složitější a
vyžaduje matematický model typu A . x ≤ b resp. A . x ≥ b.
Složitost modelu typu A . x ≤ b spočívá v tom, že kanonický tvar soustavy rovnic má v matici
soustavy jednotkovou submatici a jestliže v převodní soustavě rovnic takovou submatici nemáme,
můžeme ji uměle vytvořit tak, že v určitých rovnicích přičteme nové pomocné proměnné. Protože
tato uměle vytvořená proměnná nemá žádný věcný význam, je nezbytné, aby se v konečném
optimálním řešení nevyskytovala jako proměnná základní a aby se v průběhu řešení vyloučila a
stala se proměnnou nezákladní, za niž dosazujeme nulu. Nepodaří-li se ji vyloučit, je nové řešení
nepřípustné.
Vyloučení spočívá v zavedení sekundární kriteriální funkce z´, která poslouží
k minimalizování součtu pomocných proměnných. Nebude-li možné problém LP z hlediska
sekundární účelové funkce optimalizovat, celkové řešení problému neexistuje. Bude-li však tato
podmínka splněna, můžeme pokračovat ve zlepšování řešení podle původní kriteriální funkce.
U úlohy typu A . x ≥ b je zpravidla nutné zavedení obou druhů proměnných, tj, přídavných i
pomocných, pokud se nechceme pomocným proměnným vyhnout (aplikace eliminační metody,
anulace rovnice a vhodná úprava matice). Naše praktická úloha představuje matematický model,
který neobsahuje pouze nerovnosti stejného typu (≤ nebo ≥). Řešení lze provést tak, že se systém
nerovností převede na soustavu rovnic zavedením přídavných proměnných a zavedou se pomocné
proměnné u těch rovnic, kde přídavná proměnná má záporné znaménko. Koeficienty sekundární
kriteriální funkce obdržíme sečtením stejnolehlých koeficientů u rovnic se záporným znaménkem
přídavných proměnných.
Další postup je stejný jako u A . x ≤ b tj. minimalizuje se sekundární kriteriální funkce z´ a
v případě kladného výsledku lze pokračovat v řešení dle původní kriteriální funkce. Přídavné
proměnné se do kriteriální funkce nepřidávají, mají tam nulové koeficienty. Naznačený postup
řešení je časově velmi náročný. V praxi po sestavení omezujících podmínek a kriteriální funkce se
řešení provádí pomocí vhodných SW na počítači (např. STATGRAPHICS) 31 .
Má-li však konkrétní optimalizační úloha, ze současného neustále a rychle se měnícího
výrobního prostředí, respektovat všechny podmínky, požadavky, možnosti, ale i zvyklosti
provozovatele těchto zařízení, musí se tomuto prostředí maximálně přizpůsobit, avšak jen do té
míry, při které nepřekročí mez, která by výsledek řešení „zkreslila“ natolik, že by jej přesunula
mimo reálné (akceptovatelné) intervaly základních řezných podmínek, a to nejen z hlediska
technických omezení, ale i konstrukčních požadavků (přesnost, kvalita, jakost) a neoddělitelného
vztahu řezivost – obrobitelnost.
Náš případ však na základě podrobného zmapováni specifik sledovaného výrobního prostředí
(organizační zvyklosti, technická omezení, personální obsazení a momentální požadavky trhu) a
hlubších teoretických znalostí (experimentální stanovení potřebných konstant a exponentů pro
Taylorův vztah) posunul stávající úlohu do takové situace, kdy soustava omezení má stejný
225