Zbirka zadataka iz Ekspertskih sistema

58 1. Pretraživanje
Zadatak 25: Simbolička integracija
Posmatrajmo problem simboličke integracije: Potrebno je izračunati zadati neodređeni
integral nalaženjem primitivne funkcije za podintegralnu funkciju, to jest, za zadatu f(x)
potrebno je naći funkciju F(x) tako da važi
=z F( x) + c f ( x) dx.
Funkcija F(x) naziva se u matematici primitivnom funkcijom funkcije f(x).
a) Šta je prostor pretraživanja?
b) Kako izgleda startno stanje?
c) Kako izgleda ciljno stanje?
d) Koji su operatori promene stanja?
e) Da li se problem može razložiti na nekom međustanju?
Rešenje
a) Problem je generalno definisan u smislu da zadata funkcija f(x) može biti proizvoljna
matematička funkcija jedne promenljive. U realizaciji automatske simboličke integracije
nužno se nameće ograničenje da je funkcija f(x) zadata izrazom koji je sastavljen od
uobičajenih algebarskih operacija i elementarnih matematičkih funkcija. U tom slučaju,
prostor pretraživanja predstavlja skup svih mogućih izraza sastavljenih od ovih elementarnih
funkcija. Pošto nema ograničenja u složenosti izraza, prostor pretraživanja je beskonačno
veliki.
b) Startno stanje predstavljeno je zadatom funkcijom f(x) čiji neodređeni integral treba naći.
U narednoj diskusiji simbolički ćemo stanja označavati neodređenim integralima funkcija, da
bi se naglasilo da se rešava problem integracije.
c) Ciljno stanje je predstavljeno matematičkom funkcijom čija se primitivna funkcija
trivijalno nalazi, to jest poznata je iz tablica (takozvani tablični integrali). Na primer,
z x z
n+
1
n
1. xdx=
+ Cn , ≠ −1
4. cos xdx = sin x + C
n + 1
2. dx z z x x
= ln x + C
5. edx= e + C i tako dalje..
z
x
3. sin xdx =− cosx
+ C
i tako dalje
d) Problem se (u slučaju da rešenje postoji) može rešiti sistematskim transformisanjem
podintegralne funkcije po određenim matematičkim pravilima dok se problem ne svede na
jedan ili više tabličnih integrala. Pravila transformacije podintegralne funkcije igraju u ovom
slučaju ulogu operatora promene stanja. Neka od pravila su:
1. Pravilo dekompozicije: [ f ( x) ± f ( x)] dx = f ( x) dx ± f ( x) dx
z z z
z z ( ) = ( ) , ≠0
=z
je proizvoljna konstanta.
( ) [ ( )] '( )
1 2 1 2
2. Pravilo množenja konstantom: Af x dx A f x dx A
z 3. Zamena promenljive: f x dx f ϕ t ϕ t dt pri čemu je x = ϕ(t) gde diferencijal
promenljive x zamenjujemo diferencijalom funkcije promenljivom ϕ(t) i pri tome se funkcija
ϕ bira tako da nova podintegralna funkcija bude pogodnija od stare. Očigledno sistem koji
primenjuje ovo pravilo mora imati realizovano i simboličko diferenciranje. Simboličko