Analyse, Modellierung und Programmierung des Geige-spielens an ...

7. Steuerung
über relative Lage und Orientierung inne hält:
⎡
r xx r yx r zx p x
⎤
r xz r yz r zz p z
T = ⎣ r xy r yy r zy p y
⎦ (7.6)
T = [ R −→ r ] (7.7)
Um mit dieser mathematischen Beschreibungsform rechnen zu können, wird die Matrix
entsprechen 7.8 bzw. 7.9 noch um eine weitere Dimension ergänzt:
⎡
T = ⎢
⎣
[
T =
r xx r yx r zx p x
r xy r yy r zy p y
r xz r yz r zz p z
0 0 0 1
R −→ r
0 0 0 1
]
⎤
⎥
⎦ (7.8)
(7.9)
In einem orthonormalen Koordinatensystem ist diese Zeile immer konstant und ergibt
sich aus den Regeln der Matrizenrechnung. Da sie keine relevante Information enthält,
wird sie bei Überlegungen und Schriften oft nicht mit angegeben. Für Berechnungen oder
der Verarbeitung in einem Programm ist sie allerdings unerlässlich. Die Transformation
eines Punktes würde somit folgendermaßen aussehen:
B P = A BT ·A P (7.10)
oder im Umkehrschluss:
A P = A BT −1 ·B P (7.11)
In diesem Falle wird zur Umkehrung der Transformation die Inverse der Transformationsmatrix
mit dem Koordinatensystem multipliziert. [26, 28]
7.2.3. Interpretation
Aus Abschnitt 7.2.2 ist nun also der Aufbau einer solchen Transformationsmatrix bekannt.
Zu erwähnen sei an dieser Stelle noch, dass dies nicht die einzige Methode darstellt,
um Objekte oder Punkte im Raum vollständig zu beschreiben, aber doch die am
häufigsten genutzte. Die hohe Anschaulichkeit einer solchen Matrix erweist sich in diesen
Zusammenhang als großer Vorteil. Die Nutzung dieser Matrix geschieht auf denkbar
einfache Weise:
Will man die Lage eines Punktes, eines Objektes oder den Ursprung eines neuen Koordinatensystem
relativ zu einem Bezugsystem beschreiben, so sind dafür lediglich die einzelnen
räumlichen Koordinaten in jeder Ebene X, Y und Z anzugeben. Dies entspräche
dem Ortsvektor −→ r und dieser wiederum der vierten Spalte der Transformationsmatrix,
35