Analyse, Modellierung und Programmierung des Geige-spielens an ...

7. Steuerung
wobei der letzte Wert wie schon beschrieben konstant mit eins anzugeben ist:
⎡
⎤
1 0 0 X
T = ⎢ 0 1 0 Y
⎥
⎣ 0 0 1 Z ⎦ (7.12)
0 0 0 1
Zu beachten sei hierbei, dass sich die angegebenen “Verschiebungswerte” X, Y und Z immer
in den Ebenen des zugrunde liegenden Bezugssystems bewegen. Natürlich braucht
eine Transformationsmatrix kein festes Bezugssystem. Es ist viel mehr eine relative “Änderungsangabe”,
dessen Bezug immer wieder aufs Neue frei gewählt werden kann. Ähnlich
verhält es sich auch mit der Orientierungsmatrix, welche der ersten drei Spalten der
Transformationsmatrix entspricht. 1 Die in 7.12 angegebene Form bewirkt keine Änderung
der Orientierung im Raum.
Will man die Orientierung im Raum ändern, so ist es sinnvoll, die einzelnen Drehungen
in verschiedenen Matrizen nacheinander um jeweils eine Achse anzugeben. Eine
nachfolgende Multiplikation aller Matrizen erzeugt dann eine einheitliche Transformationsmatrix,
welche in der Lage ist, die Orientierung entsprechend der Rotation um jede
Achse beliebig zu beeinflussen. Mal angenommen, im Folgenden werde eine Rotation
des Raumes um die X -Achse benötigt. Stellt man sich diese Drehung einmal gedanklich
vor, so wird einem auffallen, dass weder eine Verschiebung des Einheitsvektors der X -
Achse, noch eine Verschiebung eines beliebigen Einheitsvektors in Richtung der X-Achse
von Nöten ist. Im Folgeschluss bedeutet dies, dass alle Glieder der Matrix, die den Einheitsvektor
der X-Achse verschieben würden, nicht angetastet werden, genauso wie alle
Glieder, die einen beliebigen Punkt in X-Richtung verschieben würden, ebenfalls unangetastet
bleiben. Bezogen auf die Matrix bedeutet dies, dass die Glieder der ersten Zeile
sowie die der ersten Spalte der Matrix alle mit Null angegeben werden müssen. Lediglich
der erste Wert der Matrix, welcher die Verschiebung des X-Vektors in X-Richtung angibt,
verbleibt mit der Einheitslänge eins, da andern falls der Raum in dieser Dimension
gar nicht erst aufgespannt werden würde. Übrig bleibt also nur eine Verschiebung der
Einheitsvektoren Y und Z, in Richtung der Y und Z -Achsen. Besonders einfach erweist
sich hierbei die Angabe eines Drehungswinkels α. Aus den trigonometrischen Gesetzen
erhält man somit folgende Form der Transformationsmatrix:
⎡
T = ⎢
⎣
1 0 0 X
0 cos α − sin α Y
0 sin α cos α Z
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ (7.13)
Analog dazu erfolgt eine Drehung um die Y-Achse
⎡
⎤
cos α 0 sin α X
T = ⎢ 0 1 0 Y
⎥
⎣ − sin α 0 cos α Z ⎦ (7.14)
0 0 0 1
1 Die letzte Zeile ist eine konstante und gehört somit nicht zur eigentlichen Orientierungsmatrix.
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