Analyse, Modellierung und Programmierung des Geige-spielens an ...

7. Steuerung
bzw. der Z-Achse
⎡
T = ⎢
⎣
cos α − sin α 0 X
sin α cos α 0 Y
0 0 1 Z
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ (7.15)
wobei α jeweils den Drehungswinkel um die entsprechende Achse angibt. [26, 28]
7.3. Inverse-Kinematik
7.3.1. Vorwort
Die Inverse-Transformation stellt ein überaus komplexes und mathematisches Gebiet da,
welches ich hier nur kurz anschneiden möchte. Ziel einer Inversen- oder auch Rückwärts-
Transformation ist es, Basiskoordinaten, welche im Basiskoordinatensystem vorliegen, in
geeignete Gelenkwinkel “zurückzurechnen”, so dass die geforderte Orientierung und Lage
des Endeffektors erreicht wird.
Diese Transformation ist nur selten explizit möglich und ihre Komplexität hängt entscheidend
von Größe und Aufbau der offenen kinematischen Kette des Systems ab. Wie
man sich leicht vorstellen kann, ergeben sich für die meisten Positionen im Raum mehrere
Möglichkeiten der Gelenkwinkelstellungen, für einige sogar unendlich viele. Letzterer Fall
tritt sehr oft auf, wenn zum Erreichen einer Position mehr Freiheitsgrade vorhanden sind
als eigentlich von Nöten (redundante Freiheitsgrade). Diese “überflüssigen” Freiheitsgrade
sind dann frei bestimmbar und nicht abhängig von der jeweiligen Position des Endeffektors.
Eine explizite Lösung der Gleichungen ist meist nur bei sehr einfachen Aufbauten
mit wenigen Freiheitsgraden möglich. Es ist aber ebenfalls möglich, einige Freiheitsgrade
in ihrem Bewegungsspielraum einzuschränken (z. B. Stellung des Ellenbogens) und somit
die Bewegungsgleichungen zu vereinfachen.
7.3.2. Analytische Verfahren
Es existieren in der Literatur eine ganze Reihe analytischer Verfahren über inverse Transformationen.
Als eines der bekanntesten soll hier das Verfahren von Paul (1981) als
Beispiel dienen.
Für die Entwicklung einer Inversen-Kinematik werden hierbei systematisch kinematische
Beziehungen erstellt und in geeigneter Weise ausgewählt. Als Grundlage hierzu dient
die Denavit-Hartenberg-Methode, welche u. a. die Lage zweier benachbarter Glieder des
Manipulators relativ zueinander angibt, wobei von einer besonderen Anordnung und
Orientierung benachbarter Koordinatensysteme ausgegangen wird, welche die einzelnen
starren Glieder des Roboters beschreiben. Alle Teilkörper werden beginnend von Null in
aufsteigender Reihenfolge durchnummeriert, wobei Null die Basis darstellt. Folgende Bedingungen
müssen für zwei benachbarte Koordinatensysteme gelten (D-H-Konvention):
• die z i−1 -Achse liegt entlang der Bewegungsachse des i-ten Gelenks
• die x i -Achse steht normal auf der z i−1 -Achse und zeigt von ihr weg
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