Analyse, Modellierung und Programmierung des Geige-spielens an ...

7. Steuerung
Diese Matrix entspricht der Vorwärtstransformation oder Vorwärtskinematik. Um nun
daraus eine Inverse-Transformation zu erhalten, bedarf es einer Umkehrung der Vorgänge,
wobei aus einer Position die entsprechende Anzahl an Gelenkwinkeln bzw. translatorischen
Bewegungen (z. B. bei Schubgelenken) ermittelt werden muss. Ausgangspunkt
ist dabei die Matrix TT 0 CP
. Durch eine Linksmultiplikation mit allen Inversen der D-H-
Matrizen in aufsteigender Reihenfolge erhält man folgende Gleichungssysteme:
T = D 0,f
D0,1 −1 T = D 1,f
D −1
1,2 D −1
0,1 T = D 2,f
D −1
2,3 D −1
1,2 D −1
0,1 T = D 3,f
D3,4 −1 D2,3 −1 D1,2 −1 D0,1 −1 T = D 4,f
......
D −1
f−2,f−1
...... D −1
0,1 T = D f−1,f
(7.23)
Jede dieser Matrizengleichungen aus 7.23 führt auf zwölf nichttriviale einzelne Gleichungen.
Ziel ist es nun, durch eine Untersuchung jeder dieser Matrizengleichungen Elemtengleichungen
zu entwickeln, welche auf eine einzelne Gelenkvariablen zurückführen, bis für
jede Gelenkvariable eine explizite Gleichung vorliegt. Da die Anzahl der insgesamt zu untersuchenden
Gleichungen enorm mit der Anzahl der Freiheitsgrade ansteigt (n = 12f),
geht mit dieser Methode ein hoher Rechenaufwand einher und das Verfahren wird für
sehr komplizierte Systeme oft unbrauchbar. [28]
7.3.3. Numerische Verfahren
Da in vielen Fällen eine analytische Lösung nicht möglich oder zu umständlich ist, werden
zunehmend auch numerische Verfahren zur Rücktransformation von Trajektorienpunkten
angewandt. Solche Annäherungsverfahren profitieren vor allem von den schnellwachsenden
Leistungen moderner Mikroprozessoren. Im folgenden werden zwei Verfahren kurz
vorgestellt:
7.3.3.1. Milenkovic und Huang
Ein vor allem für seperatierbare Manipulatoren geeignetes teilnumerisches Verfahren,
bei dem die Berechnungen in zwei Teilen vorgenommen wird: Die kinematische Kette
des Systems wird hierbei in zwei Teilketten aufgespaltet, welche jeweils explizite Gleichungen
auf Gelenkvariablen inne halten: die Positionsteilkette und die Orientierungsteilkette.
Als erstes werden die Gelenkkoordinaten der Positionsteilkette so bestimmt,
dass der Endeffektor die gewünschte Lage im Raum einnimmt. Die Orientierungskette
wird dabei “festgehalten” und nicht verändert. Ist die korrekte Lage erreicht, wird die
Positionskette festgehalten und nunmehr die Orientierungskette durch die Gelenkkoordinaten
beeinflusst, bis die angestrebte Orientierung vorliegt. Da sich beide Teilketten
gegenseitig beeinflussen, ist die Lösung auf iterativem Wege durch beliebig viele Wiederholungen
dieser Vorgänge möglichst genau zu bestimmen. Grundvoraussetzung für dieses
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