antriebstechnik 1-2/2016

Signaloberwellen ist in Bild 04, links exemplarisch jeweils für eine
normierte Amplitude von dargestellt.
Der Unterteilungswinkelfehler ∆ϕ SD
wird im Folgenden für eine
allgemeine Ordnung m und Amplitude der Signaloberwelle,
sowie als Funktion des Signalperiodenwinkels, hergeleitet.
Definiert wurde der Unterteilungswinkelfehler in Gleichung 7a als
Differenz zwischen dem Winkel in einer Signalperiode und dem
Unterteilungswinkel. Um den Unterteilungswinkel ϕ SD
in der Gleichung
zu eliminieren wird dieser durch die Arkustangens-Funktion
substituiert und die normierten Messsignale mit Signaloberwellen
(Gl. 9c und 9d) in die Gleichung eingesetzt:
Eine allgemeine Näherung des Unterteilungswinkelfehlers für
beliebige Ordnungen m und kleine Amplituden der Signaloberwellen
ist in Gleichung 13b dargestellt. In den Gleichungen
für bestimmte Ordnungen entfällt jeweils einer der letzten beiden
Terme. Für gerade und ungerade Ordnungen der Signalober wellen
entstehen deshalb symmetrische Ergebnisse die in Tabelle 2 bis zur
5. Ordnung der Oberwellen zusammengefasst sind.
Werden die von der Idealform abweichenden Messsignale aus
Bild 04 in vektorieller Darstellung aufgetragen ist eine charakteristische
Abweichung von der idealen Kreisform zu erkennen (Bild 04
rechts). Ebenso wie Grundabweichungen führen Signaloberwellen
der Messsignale zu Positionsmessfehlern in einer Signalperiode mit
einem trigonometrischen Verlauf. Der Scheitelwert der Signaloberwelle
wirkt sich als Amplitude im Positionsmessfehler aus. Die
spezielle Form des Fehlers eignet sich für eine Formulierung des
mathematischen Modells als Fourier-Reihe:
Eine Umformung durch Anwendung trigonometrischer Beziehungen
und Formeln führt zu folgender Gleichung:
Die Koeffizienten a i
und b i
der trigonometrischen Terme in Gleichung
14 können den Tabellen 1 und 2 unmittelbar entnommen
werden. Alle betrachteten Signalabweichungen führen zu Unterteilungswinkelfehlern
mit einem Vielfachen der Frequenz des Messsignals.
Das Signalspektrum des Positionsmessfehlers ist somit von
ausgeprägten Linienstörern überlagert. Mit dem vorgestellten Modell
können die Auswirkungen dieser Störfrequenzen in digitalen Regelkreisen
von Servoantrieben systematisch analysiert werden.
Mit Umformungen und Substitutionen kann keine weitere Vereinfachung
von Gleichung 12 erreicht werden. Jedoch kann der Ausdruck
mit Näherungen für kleine Signalamplituden und Unterteilungswinkelfehler
reduziert werden:
n Bei kleinen Amplituden der Signaloberwellen
kann der
trigonometrische Term im Nenner von Gleichung 12 vernachlässigt
werden
n Für kleine Unterteilungswinkelfehler kann die Tangens-Operation
mit dem Argument approximiert werden: tan(∆ϕ SD
) ≈ ∆ϕ SD
für
. Um weiterhin konsistente Gleichungen zu
erhalten müssen die approximierten Terme mit der Einheit „rad“
erweitert werden.
Für den abgeleiteten Unterteilungswinkelfehler aus Gleichung 12
ergibt sich mit den beschriebenen Näherungen folgender Ausdruck:
Modellverifikation
Das abgeleitete mathematische Modell des Positionsmessfehlers in
einer Signalperiode wird in zwei Schritten verifiziert. Mit einer
Simulation kann die Gültigkeit der mathematischen Ableitung des
Modells bestätigt werden, speziell im Hinblick auf die eingeführten
Näherungen. Die experimentellen Untersuchungen dienen dazu,
die Systematik der Signalabweichungen und der daraus resultierenden
Positionsmessfehler zu validieren.
A Simulation
Die Auswirkungen der verschiedenen Signaloberwellen auf den
berechneten Unterteilungswinkel ϕ SD
können in einer Simulation
einzeln betrachtet werden. Weiterhin sind alle Größen verfügbar um
den Unterteilungswinkelfehler ∆ϕ SD
exakt zu bestimmen. Durch die
Simulation kann somit überprüft werden, ob die analytische Ableitung
der Gleichungen für den Unterteilungswinkelfehler korrekt
durchgeführt wurde.
In der Simulation wurde für alle Signaloberwellen eine normierte
Amplitude
gewählt. Entsprechend dem abgeleiteten
Modell muss für die Oberwellen 3. und 5. Ordnung der Verlauf des
70 antriebstechnik 1-2/2016