DA032 - Lehrstuhl Verbrennungskraftmaschinen und Flugantriebe ...

4. Strömungsmischvorgänge - 34 -
τ ϕr
⎛ ∂W
W ⎞ µ Γ0
= ⎜ − ⎟ = − 2
Gl. 4-28
⎝ ∂r
r ⎠ πr
Somit kann ein isolierter Potentialwirbel in einem viskosen Medium ohne Energiezufuhr nicht
aufrechterhalten werden. Wird somit der Wirbel sich selbst überlassen, verlangsamt sich die
Drehbewegung mit zunehmender Zeit. Anders formuliert bedeutet dies: Bei einer
Annäherung an das Wirbelzentrum steigt die Schubspannung solange an, bis sie im
Drehzentrum unendliche Werte erreicht. Somit formt sich der Potentialwirbel in der Realität
aufgrund der vorhandenen Reibung im Wirbelkern bzw. in Achsnähe in einen
Festkörperwirbel um.
b. Festkörperwirbel
Der Festkörperwirbel stellt die einfachste Wirbelform dar. Er ist durch eine lineare
Abhängigkeit zwischen dem Radius und der Umfangsgeschwindigkeit charakterisiert, und
besitzt eine vom Radius quadratisch abhängige Zirkulation sowie eine konstante
Wirbelstärke.
2
W = Cr;
Γ = 2πCr
; ϖ z = 2C
Gl. 4-29
Wirbel in dieser Art sind drehungsbehaftet, aber aufgrund nicht auftretender
Schubspannungen( τ = 0 ) nicht dissipativ.
c. Rankine-Wirbel
ϕr
Um eine idealisierte Beschreibung eines Wirbels zu ermöglichen, dessen
potentialwirbelähnliche Verteilung im Wirbelkern aufgrund von Reibung in einen
Starrkörperwirbel übergeht, wird der Rankine-Wirbel herangezogen.
W = W
max
⎛ r
⎜
⎝ r1
⎞
⎟
⎠
n
⎧n
= 1 für 0 ≤ r ≤ r
´ mit ⎨
⎩ n = −1
für r > r1
1
Gl. 4-30
Viele in der Natur und Technik auftretende Wirbelformen können mittels des Rankine-
Wirbels angenähert werden. Aufgrund der relativ einfachen mathematischen Beschreibung
kommt dieser häufig in analytischen Modellen zum Einsatz.
Mittels der Burgerswirbel [31] ist es möglich, eine dem Rankine-Wirbel ähnliche
Geschwindigkeitsverteilung mit einem stetigen Übergang zwischen dem Außen- und
Kernbereich zu beschreiben. Der Wirbel ist im Vergleich der vorher genannten Wirbelarten
dreidimensional.
W
C
r
2
2
−C2r
−C2
( 1− e ) ; Γ = 2 C1(
1−
e )
1 r
= π Gl. 4-31