movilidad ip basado en transmisión multicast - Universidad ...

Anexo 2. Desarrollo de ecuaciones.
Parte del integrando de la ecuación (7.51d) puede desarrollarse
según el binomio de Newton:
(| t | + τ )
n−1
τ
n−1
= τ
=
n−1
n
∑ − 1
j = 0
n
∑ − 1
j = 0
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
n − 1
j
n − 1
j
⎞ j
⎟τ
| t |
⎠
n−1−
j
=
⎞ j + n−1
n−1−
j
⎟τ | t |
(7.51f)
⎠
Sustituyendo (7.51f) en la ecuación de la función de densidad de
distribución tenemos:
f
Z
( t)
=
2n
β −|
t|
β
e
[ ] ∫ ∞
( n −1)!
∑
0
n−1
j = 0
⎛
⎜
⎝
n − 1
j
⎞
⎟
⎠
τ
j + n−1
| t |
n−1−
j
e
−2τβ
dτ
(7.51g)
Ahora podemos utilizar la definición de I k de la ecuación (7.51e) de
manera que nos queda:
f
Z
( t)
2n
β −|
t|
β n−1
n − −
= ∑ − 1 n 1 j
e
I
j=
0
j + n−1
j
[(
n −1)!
]
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ | t |
⎠
=
=
β
2n
[(
n −1)!
]
e
−|
t|
β n−1
n − −
∑ − 1 n 1 j
j = 0 j
n
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ | t |
⎠
( n −1+
j)!
=
j +
2β
=
e
−|
t|
β
[ n −1)!
]
⎛
⎜
⎝
n
β
⎞ n−1
⎛ n 1⎞
n−1−
j ⎛ 1 ⎞
⎟ ∑ ⎜
− ⎟ | t | ⎜ ⎟
⎠
j = 0⎝
j ⎠ ⎝ β ⎠
( 2
2
j
( n −1+
j)!
(7.51h)
Puede comprobarse como haciendo n=1, es decir, con X e Y v.a con
fdd exponencial, la v.a Z, resta de las dos, tiene una fdd que sigue una
distribución de Laplace [ABRA72].
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